Ядро как квантовая система. Kvant

Квантовая система

Для объяснения многих свойств микрочастиц (фотонов, электронов и др.) требуются специальные законы и подходы квантовой механики. Квантовые свойства микромира проявляются через свойства макросистем. Микрообъекты составляют определенную физическую систему, которая называется квантовой. Примерами квантовых систем могут служить: фотонный газ, электроны в металлах. Под терминами квантовая система, квантовая частица следует понимать материальный объект, который описывается с помощью специального аппарата квантовой механики.

Квантовая механика исследует свойства и явления мира микрочастиц, которые не может трактовать классическая механика. Такими особенностями, например, стали: корпускулярно-волновой дуализм, дискретность, существование спинов. Методы классической механики не могут описать поведение частиц микромира. Имеющиеся одновременно волновые и корпускулярные свойства у микрочастицы не дают возможности определить состояние частицы с классической точки зрения.

Данный факт отразился в соотношении неопределенности Гейзенберга ($1925г.$):

где $\triangle x$ -- неточность в определении координаты, $\triangle p$ -- погрешность в определении импульса микрочастицы. Подобное соотношение можно записать в виде:

где $\triangle E$ -- неопределенность в величине энергии, $\triangle t$ -- неопределенность по времени. Соотношения (1) и (2) указывают на то, что если одна из величин в этих соотношениях определены с высокой точностью, то другой параметр имеет большую погрешность в определении. В этих соотношениях $\hbar =1,05\cdot {10}^{-34}Дж\cdot с$. Так, состояние микрочастицы в квантовой механике, нельзя описать, одномоментно используя координат и импульс, что является возможным в классической механики. Аналогичная ситуация относится к энергии в данный момент времени. Состояния с конкретным значением энергии можно получить только в стационарных случаях (то есть в случаях, которые не имеют точного определения во времени).

Имея корпускулярные и одновременно волновые свойства, микрочастица не обладает точной координатой, а является «размазанной» в некоторой области пространства. В случае присутствия в некоторой области пространства двух и более частиц не возможно их отличить друг от друга, так как нельзя отследить за движением каждой. Из вышесказанного следует тождественность частиц в квантовой механике.

Некоторые параметры, относящиеся к микрочастицам, принимают дискретные значения, что классическая механика объяснить не может. В соответствии с положениями и законами квантовой механики, помимо энергии системы, дискретными могут быть момент количества движения системы:

где $l=0,1,2,\dots $

спин может принимать значения:

где $s=0,\ \frac{1}{2},\ 1,\ \frac{3}{2},\dots $

Проекция магнитного момента на направление внешнего поля принимает значения:

где $m_z$ -- магнитное квантовое число, которое принимает значения: $2s+1: s, s-1,...0,...,-(s-1), -s.$

${\mu }_B$ -- магнетон Бора.

С целью математического описания квантовых особенностей физических величин в соответствие каждой величине ставят оператор. Так, в квантовой механике физические величины отображаются операторами, при этом их значения определяются средними по собственным значениям операторов.

Состояние квантовой системы

Любое состояние в квантовой системе описывается при помощи волновой функции. Однако данная функция прогнозирует параметры будущего состояния системы с некоторой долей вероятности, а не достоверно, то является принципиальным отличием от классической механики. Таким образом, для параметров системы волновая функция определяет вероятностные значения. Такая неопределенность, неточность предсказаний более всего вызывала споры в среде ученых.

Измеряемые параметры квантовой системы

Самые глобальные различия между классической и квантовой механикой заключены в роли измерения параметров изучаемой квантовой системы. Проблема измерений в квантовой механике заключается в том, что при попытках провести измерения параметров микросистемы исследователь действует на систему макроприбором, чем изменяет состояние самой квантовой системы. Так, при попытке точно измерить параметр микрообъекта (координату, импульс, энергию), мы сталкиваемся с тем, что сам процесс измерения изменяет параметры, которые мы пытаемся измерить, причем существенно. Провести точные измерения в микромире невозможно. Всегда будет иметь место ошибки в соответствии с принципом неопределенности.

В квантовой механике динамические переменные представляют операторы, поэтому говорить о числовых значениях не имеет смысла, так как оператор определяет действие на вектор состояния. Результат представлен, так же вектором пространства Гильберта, а не числом.

Замечание 1

Только в том случае, если вектор состояния - собственный вектор оператора динамической переменной, то его действие на вектор можно свести к умножению на число без изменения состояния. В таком случае оператору динамической переменной можно сопоставить единственное число, которое равно собственному значению оператора. При этом можно считать, что динамическая переменная имеет определенное численное значение. Тогда динамическая переменная имеет количественное значение независимое от измерения.

В том случае, если вектор состояния не собственный вектор оператора динамической переменной, то результат измерения не становится однозначным и говорят только о вероятности того или иного значения получаемого в измерении.

Результатами теории, которые проверяемы эмпирически служат вероятности получения в измерении динамической переменной при большом количестве измерений для одного и того же вектора состояния.

Основной характеристикой квантовой системы является волновая функция, которая введена М. Борном. Физический смысл чаще всего определяют не для самой волновой функции, а квадрат ее модуля, который определяет вероятность того, что квантовая система в указанный момент времени находится в данной точке пространства. Основа микромира -- вероятность. Помимо знания волновой функции для описания квантовой системы необходима информация о других параметрах, например о параметрах поля, с которым система взаимодействует.

Процессы, которые происходят в микромире лежат за пределами чувственного восприятия человека. Следовательно, понятия и явления, которые использует квантовая механика, лишены наглядности.

Пример 1

Задание: Какова минимальная ошибка, с которой можно определить скорость электрона и протона, если координаты частиц известны с неопределенностью $1$ мкм.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем соотношение неопределенностей Гейзенберга в виде:

\[\triangle p_x\triangle x\ge \hbar \left(1.1\right),\]

где $\triangle x$ -- неопределенность координаты, $\triangle p_x$ -- неопределенность проекции импульса частицы на ось X. Величину неопределенности импульса можно выразить как:

\[\triangle p_x=m\triangle v_x\left(1.2\right).\]

Подставим правую часть выражения (1.2) вместо неопределенности проекции импульса в выражении (1.1), имеем:

Из формулы (1.3) выразим искомую неопределенность скорости:

\[\triangle v_x\ge \frac{\hbar }{m\triangle x}\left(1.4\right).\]

Из неравенства (1.4) следует, что минимальная погрешность при определении скорости частицы равна:

\[\triangle v_x=\frac{\hbar }{m\triangle x}.\]

Зная массу электрона $m_e=9,1\cdot {10}^{-31}кг,$ проведем вычисления:

\[\triangle v_{ex}=\frac{1,05\cdot {10}^{-34}}{9,1\cdot {10}^{-31}\cdot {10}^{-6}}=1,1\cdot {10}^2(\frac{м}{с}).\]

масса протона равна $m_p=1,67\cdot {10}^{-27}кг$, вычислим погрешность в измерении скорости протона при заданных условиях:

\[\triangle v_{px}=\frac{1,05\cdot {10}^{-34}}{1,67\cdot {10}^{-27}\cdot {10}^{-6}}=0,628\cdot {10}^{-1}(\frac{м}{с}).\]

Ответ: $\triangle v_{ex}=1,1\cdot {10}^2\frac{м}{с},$ $\triangle v_{px}=0,628\cdot {10}^{-1}\frac{м}{с}.$

Пример 2

Задание: Какова минимальная погрешность в измерении кинетической энергии электрона, если он находится в области, размер которой l.

Решение:

В качестве основы для решения задачи используем соотношение неопределенностей Гейзенберга в виде:

\[\triangle p_xl\ge \hbar \to \triangle p_x\ge \frac{\hbar }{l}\left(2.1\right).\]

Из неравенства (2.1) следует, что минимальная погрешность импульса равна:

\[\triangle p_x=\frac{\hbar }{l}\left(2.2\right).\]

Погрешность кинетической энергии можно выразить как:

\[\triangle E_k=\frac{{\left(\triangle p_x\right)}^2}{2m}=\frac{{\left(\hbar \right)}^2}{{\left(l\right)}^22\cdot m_e}.\]

Ответ: $\triangle E_k=\frac{{\left(\hbar \right)}^2}{{\left(l\right)}^22\cdot m_e}.$

Уровни энергии (атомные, молекулярные, ядерные)

1. Характеристики состояния квантовой системы
2. Энергетические уров атомов
3. Энергетические уровни молекул
4. Энергетические уровни ядер

Характеристики состояния квантовой системы

В основе объяснения св-в атомов, молекул и атомных ядер, т.е. явлений, происходящих в элементах объема с линейными масштабами 10 -6 -10 -13 см, лежит квантовая механика. Согласно квантовой механике, всякая квантовая система (т.е. система микрочастиц, к-рая подчиняется квантовым законам) характеризуется определенным набором состояний. В общем случае этот набор состояний может быть как дискретным (дискретный спектр состояний), так и непрерывным (непрерывный спектр состояний). Характеристиками состояния изолированной системы явл. внутренняя энергия системы (всюду дальше просто энергия), полный момент количества движения (МКД) и четность.

Энергия системы.
Квантовая система, находясь в различных состояниях, обладает, вообще говоря, различной энергией. Энергия связанной системы может принимать любые значения. Этот набор возможных значений энергии наз. дискретным энергетическим спкетром, а об энергии говорят, что она квантуется. Примером может служить энергетич. спектр атома (см. ниже). Несвязанная система взаимодействующих частиц обладает непрерывным энергетическим спектром, а энергия может принимать произвольные значения. Примером такой системы явл. свободный электрон (Э) в кулоновском поле атомного ядра. Непрерывный энергетический спектр можно представить как набор бесконечно большого числа дискретных состояний, между к-рыми энергетич. зазоры бесконечно малы.

Состояние, к-рому соответствует наименьшая энергия, возможная для данной системы, наз. основным: все остальные состояния наз. возбужденными. Часто бывает удобным пользоваться условной шкалой энергии, в к-рой энергия осн. состояния считается началом отсчета, т.е. полагается равной нулю (в этой условной шкале всюду в дальнейшем энергия обозначается буквой E ). Если система, находясь в состоянии n (причем индекс n =1 присваивается осн. состоянию), обладает энергией E n , то говорят, что система находится на энергетическом уровне E n . Число n , нумерующее У.э., наз. квантовым числом. В общем случае каждый У.э. может характеризоваться не одним квантовым числом, а их совокупностью; тогда индекс n означает совокупность этих квантовых чисел.

Если состояниям n 1 , n 2 , n 3 ,..., n k соответствует одна и та же энергия, т.е. один У.э., то этот уровень называется вырожденным, а число k - кратностью вырождения.

При любых превращениях замкнутой системы (а также системы в постоянном внеш. поле) ее полная энергия энергия сохраняется неизменной. Поэтому энергия относится к т.н. сохраняющимся величинам. Закон сохранения энергии следует из однородности времени.

Полный момент количества движения.
Эта величина явл. векторной и получается сложением МКД всех частиц, входящих в систему. Каждая частица обладает как собств. МКД - спином, так и орбитальным моментом, обусловленным движением частицы относительно общего центра масс системы. Квантование МКД приводит к тому, что его абс. величина J принимает строго определенные значения: , где j - квантовое число, к-рое может принимать неотрицательные целые и полуцелые значения (квантовое число орбитального МКД всегда целое). Проекция МКД на к.-л. ось наз. магн. квантовым числом и может принимать 2j+1 значений: m j =j, j -1,...,-j . Если к.-л. момент J явл. суммой двух др. моментов , то, согласно правилам сложения моментов в квантовой механике, квантовое число j может принимать следующие значения: j =|j 1 -j 2 |, |j 1 -j 2 -1|, ...., |j 1 +j 2 -1|, j 1 +j 2 , а . Аналогично производится суммирвоание большего числа моментов. Принято для краткости говорить о МКД системы j , подразумевая при этом момент, абс. величина к-рого есть ; о магн. квантовом числе говорят просто как о проекции момента.

При различных превращениях системы, находящейся в центрально-симметричном поле, полный МКД сохраняется, т.е., как и энергия, он относится к сохраняющимся величинам. Закон сохранения МКД следует из изотропии пространства. В аксиально-симметричном поле сохраняется лишь проекция полного МКД на ось симметрии.

Четность состояния.
В квантовой механике состояния системы описываются т.н. волновыми ф-циями. Четность характеризует изменение волновой ф-ции системы при операции пространственной инверсии, т.е. замене знаков координат всех частиц. При такой операции энергия не изменяется, тогда как волновая ф-ция может либо остаться неизменной (четное состояние), либо изменить свой знак на противоположный (нечетное состояние). Четность P принимает два значения, соответственно . Если в системе действуют ядерные или эл.-магн. силы, четность сохраняется в атомных, молекулярных и ядерных превращениях, т.е. эта величина также относится к сохраняющимся величинам. Закон сохранения четности явл. следствием симметрии пространства по отношению к зеркальным отражениям и нарушается в тех процессах, в к-рых участвуют слабые взаимодействия.

Квантовые переходы
- переходы системы из одного квантового состояния в другое. Такие переходы могут приводить как к изменению энергетич. состояния системы, так и к ее качеств. изменения. Это связанно-связанные, свободно-связанные, свободно-свободные переходы (см. Взаимодействие излучения с веществом), напр., возбуждение, деактивация, ионизация, диссоциация, рекомбинация. Это также хим. и ядерные реакции. Переходы могут происходить под действием излучения - излучательные (или радиацианные) переходы или при столкновении данной системы с к.-л. др. системой или частицей - безызлучательные переходы. Важной характеристикой квантового перехода явл. его вероятность в ед. времени, показывающая, как часто будет происходить данный переход. Эта величина измеряется в с -1 . Вероятности радиац. переходов между уровнями m и n (m>n ) с излучением или поглощением фотона, энергия к-рого равна , определяются коэфф. Эйнштейна A mn , B mn и B nm . Переход с уровня m на уровень n может происходить спонтанно. Вероятность излучения фотона B mn в этом случае равна A mn . Переходы типа под действием излучения (индуцированные переходы) характеризуются вероятностями излучения фотона и поглощения фотона , где - плотность энергии излучения с частотой .

Возможность осуществления квантового перехода с данного У.э. на к.-л. другой У.э. означает, что характерное ср. время , в течение к-рого система может находится на этом У.э., конечно. Оно определяется как величина, обратная суммарной вероятности распада данного уровня, т.е. сумме вероятностей всех возможных переходов с рассматриваемого уровня на все другие. Для радиац. переходов суммарная вероятность есть , а . Конечность времени , согласно соотношению неопределенностей , означает, что энергия уровня не может быть определена абсолютно точно, т.е. У.э. обладает нек-рой шириной. Поэтому излучение или поглощение фотонов при квантовом переходе происходит не на строго определенной частоте , а внутри нек-рого частотного интервала, лежащего в окрестности значения . Рапределение интенсивности внутри этого интервала задается профилем спектральной линии , определяющим вероятность того, что частота фотона, испущенного или поглощенного при данном переходе, равна :
(1)
где - полуширина профиля линии. Если уширение У.э. и спектральных линий вызвано только спонтанными переходами, то такое уширение наз. естественным. Если в уширении определенную роль играют столкновения системы с др. частицами, то уширение имеет комбинирвоанный характер и величина должна быть заменена суммой , где вычисляется подобно , но радиац. вероятности переходов должны быть заменены столкновительными вероятностями.

Переходы в квантовых системах подчиняются определенным правилам отбора, т.е. правилам, устанавливающим, как могут меняться при переходе квантовые числа, характеризующие состояние системы (МКД, четность и т.п.). Наиболее просто правила отбора формулируются для радиац. переходов. В этом случае они определяются св-вами начального и конечного состояний, а также квантовыми характеристиками излучаемого или поглощаемого фотона, в частности его МКД и четностью. Наибольшей вероятностью обладают т.н. электрические дипольные переходы. Эти переходы осуществляются между уровнями противоположной четности, полные МКД к-рых отличаются на величину (переход невозможен). В рамках сложившейся терминологии эти переходы наз. разрешенными. Все остальные типы переходов (магнитный дипольный, электрический квадрупольный и т.п.) наз. запрещенными. Смысл этого термина состоит лишь в том, что их вероятности оказываются много меньше вероятностей дипольных электрических переходов. Однако они не явл. запрещенными абсолютно.

А.Г. Акманов, Б.Г. Шакиров

ОСновы квантовых и оптоэлектронных приборов

УДК 621.378.1+621.383.4

Рецензенты

кафедра «Телекоммуникационные системы» УГАТУ

Маликов Р.Ф., доктор физико-математических наук,

профессор БГПУ

Протокол №24 от 24.06.2003г. пленума Совета УМО по образованию в

области телекоммуникации.

Акманов А.Г., Шакиров Б.Г.

А40 Основы квантовых и оптоэлектронных приборов. Учебное пособие.

Уфа: РИО БашГУ, 2003. - 129 с.

Данная работа является учебным пособием по дисциплинам «Оптоэлектронные и квантовые приборы и устройства», «Квантовая радиофизика» по специальностям «Физика и техника оптической связи» и «Радиофизика и электроника».

Рассмотрены физические основы, принцип действия и характеристики твердотельных, газовых и полупроводниковых лазеров, вопросы управления их параметрами. Изложены физические основы и характеристики элементов оптоэлектронных приборов.

УДК 621.378.1 + 621.383.4

ãАкманов А.Г., Шакиров Б.Г., 2003 г.

ã БашГУ, 2003 г.

ВВЕДЕНИЕ

Под квантовой электроникой как областью науки и техники понимается наука, изучающая теорию и метод генерации и усиления электромагнитных волн путем индуцированного излучения в термодинамически неравновесных квантовых системах (атомы, молекулы, ионы), свойства получаемых таким образом генераторов и усилителей и их применения.

Основу квантовой электроники составляют физические положения, сформулированные еще в 1916 г. А. Эйнштейном, который теоретически предсказал существование индуцированного излучения и указал на его особое свойство - когерентность вынуждающему излучению.

Возможность создания квантовых приборов была обоснована в начале 50-х годов. В 1954 г. в Физическом Институте АН СССР (Прохоров А. М., Басов Н, Г.) и в Колумбийском Университете (Таунс Ч.) были разработаны молекулярные квантовые генераторы (или мазеры1) СВЧ диапазона. Следующий, естественный для развития квантовой электроники шаг был сделан в направлении создания квантовых приборов оп­тического диапазона. Теоретическое обоснование такой возможности (Таунс Ч., Шавлов А., 1958 г.), предложение открытого резонатора в качестве колебательной системы в оптическом диапазоне (Прохоров А.М, 1958 г.) стимулировали экспериментальные исследования. В 1960 г. был создан лазер 1 на рубине (Мейман Т., США), в 1961 г. - лазер на смеси гелия с неоном (Джаван А., США), а в 1962 г. - первые полупроводниковые лазеры (США, СССР).

Оптоэлектроника (ОЭ) – это область науки и техники, связанная с разработкой и применением электронно-оптических устройств и систем для передачи, приема, обработки, хранения и отображения информации.

В зависимости от характера оптического сигнала различают когерентную и некогерентную оптоэлектронику. Когерентная ОЭ базируется на использовании источников лазерного излучения. К некогерентной ОЭ относят дискретные и матричные некогерентные излучатели и построенные на их основе индикаторные устройства, а также фотоприёмные устройства, оптопары, оптронные интегральные микросхемы и др.

Лазерное излучение обладает следующими свойствами:

1. Временная и пространственная когерентность. Время когерентности может составить до 10 -3 с, что соответствует длине когерентности порядка 10 5 м (l ког =c ког), т.е. на семь порядков выше, чем для обычных источников света.

2. Строгая монохроматичность ( <10 -11 м).

3. Большая плотность потока энергии.

4. Очень малое угловое расхождение в среде.

КПД лазеров колеблется в широких пределах – от 0,01% (для гелий-неонового лазера) до 75% (для полупроводникового лазера), хотя для большинства лазеров КПД составляет 0,1-1 %.

Необычные свойства лазерного излучения находят в настоящее время широкое применение. Применение лазеров для обработки, резания и микросварки твердых материалов оказывается экономически более выгодным. Лазеры применяются для скоростного и точного обнаружения дефектов в изделиях, для тончайших операций (например, луч СО 2 -лазера в качестве бескровного хирургического ножа), для исследования механизма химических реакций и влияния на их ход, для получения сверхчистых веществ. Одним из важных применений лазеров является получение и исследование высокотемпературной плазмы. Эта область их применения связана с развитием нового направления – лазерного управляемого термоядерного синтеза. Лазеры широко применяются в измерительной технике. Лазерные интерферометры используются для сверхточных дистанционных измерений линейных перемещений, коэффициентов преломления среды, давления, температуры.

Широкое распространение лазерные источники излучения получили в технике связи.

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЛАЗЕРОВ

Усиление световой волны в лазерах основано на явлении индуцированного излучения фотона возбужденной частицей вещества (атомом, молеку­лой). Чтобы основную роль играло индуцированное излучение, необходимо перевести рабочее вещество (усили­вающую среду) из равновесного состояния в неравновесное, при котором создана инверсия населенностей энергетических уровней.

В качестве колебательной системы в лазерах используется так называемой открытый резонатор, представляющий собой систему из двух высокоотражающих зеркал. При помещении между ними рабочего вещества создается условие для многократного прохождения усиливаемого излучения через активную среду, и таким образом реализуется положительная обратная связь.

Процесс возбуждения активной среды с целью создания в ней инверсии населенностей называется накачкой, а физическая система, обеспечивающая этот процесс - системой накачки.

Таким образом, в структурной схеме любого типа лазера можно выделить три основных элемента: активную среду, систему накачки и открытый резонатор.

В соответствии с этим в I главе излагаются основы теории квантового усиления и генерации при взаимодействии светового излучения с веществом, методы накачки и теория открытого резонатора.

Оптическое излучение

Оптическим излучением или светом называют электромагнитные волны, длины волн которых заключены в интервале от единиц нанометров до сотен микрометров. Помимо воспринимаемого человеческом глазом видимого излучения (l =0,38-0,76 мкм), различают ультрафиолетовое (l =0,01-0,38 мкм) и инфракрасное (l =0,78-100 мкм) излучения.

Напомним некоторые положения и формулы волновой и квантовой оптики. Волновая оптика базируется на уравнениях классической электродинамики, основу которой составляют уравнения Максвелла:

[ E ]=rot E =

[ H ]=rot H = (1.1) где Е, D, Н, B – векторы напряженности и индукции соответственно электрического и магнитного полей (система (1.1) написана для случая отсутствия токов и зарядов в среде). В однородной изотропной среде D и B связаны с полями E и H соотношениями (в системе СИ):

D= ε 0 eE, B= μ 0 mH, (1.2) где e – относительная диэлектрическая, m - относительная магнитная проницаемости среды, e 0 – электрическая, m 0 – магнитная постоянные. Система (1.1) сводится к волновому уравнению для (или ): (1.3) Уравнение (1.3) имеет решение , (1.4) которое описывает плоскую волну, распространяющуюся в направлении, определяемым волновым вектором с фазовой скоростью:

(1.5)

где с= - скорость света в вакууме. Для немагнитной среды m=1 , n= и для скорости волны получим: (1.5а)

Объемная плотность энергии, переносимой электромагнитной волной, дается формулой: r=(1/2)ε 0 e E 2 + (1/2)μ 0 m H 2 = ε 0 e E 2 . (1.6)

Спектральная объемная плотность энергии r n определяетсясоотношением: (1.7)

Модуль вектора Умова-Пойнтинга (1.8)

определяет плотность потока световой энергии, .

Под интенсивностью света понимается усредненный по времени поток энергии (1.9)

Процессы поглощения и испускания света могут быть объяснены только в рамках квантовой оптики, которая рассматривает оптическое излучение в виде потока элементарных частиц – фотонов, не имеющих массы покоя и электрического заряда, обладающих энергией E ф =hn , импульсом p= hk и движущихся со скоростью света.

Плотность потока фотонов F=I/(hn)=ru/(hn) (1.10)

где [hn ]=Дж, [F ]=1/(м 2 с).

Энергетические состояния квантовой системы. Населенности квантовых уровней

Важнейшим свойством квантовых систем (ансамбль атомов, молекул) является то, что их внутренняя энергия может принимать только дискретные значения E 1 ,E 2 ,..E n у определяемые решениями соответствующих уравнений Шредингера. Совокупность возможных для данной квантовой системы энергетических уровней называется энергетическим спектром. На диаграмме энергетических уровней энергию выражают в Джоулях, обратных сантиметрах или электрон-вольтах. Состояние с наименьшей энергией, являющееся наиболее устойчивым, называют основным. Все другие состояния, которым соответствует большая энергия, называются возбужденными.

В общем случае можно представить, что несколько различных возбужденных состояний характеризуются одним и тем же значением внутренней энергии. В этом случае говорят, что состояния вырождены, а степень вырождения (или статистический вес уровня g i .) равна числу состояний.

Рассмотрим макросистему, состоящую из N 0 тождественных слабовзаимодействующих микросистем (атомов), обладающих определенным спектром энергетических уровней. Такой макросистемой является ак­тивная среда лазера.

Число атомов в единице объема, находящихся на данном энергетическом уровне i, называется населенностью этого уровня N i . Распределение населенностей по уровням в условиях термодинамического равновесия подчиняется статистике Больцмана:

(1.11)

где Т – абсолютная температура, k – постоянная Больцмана, g i – кратность вырождения уровня, , где Е i - энергия i –го квантового уровня. Из (1.11) следует, что , т.е. сумма населенностей всех энергетических уровней равна количеству частиц N 0 в рассматриваемом ансамбле.

В соответствии с (1.11) в основном состоянии с энергией Е 1 при термодинамическом равновесии находится наибольшее количество атомов, а населенности верхних уровней уменьшаются с ростом энергии уровня (рис.1.1). Отношение населенностей двух уровней в равновесном состоянии дается формулой: (1.12)

Для простых невырожденных уровней g 1 = g 2 =1 и формула (1.12) принимает вид: (1.12а)

Мгновенный, скачкообразный переход с уровня Е i на уровень Е j называется квантовым переходом. При Е i > Е j квантовая система отдает энергию, равную (E i -E j ), а при Е i < Е j - поглощает ее. Квантовый переход с испусканием или поглощением фотона называется оптическим. Энергия испущенного (поглощенного) фотона определяется соотношением Бора:

hn ij = Е i - Е j (1.13)

1.3 Элементарные процессы взаимодействия
оптического излучения с веществом

Рассмотрим более подробно квантовые переходы, которые могут происходить между двумя произвольно выбранными энергетическими уровнями, например 1 и 2 (рис.1.2), которым соответствует энергии E 1 и E 2 ­ и населенности N 1 и N 2 .

N 2

а) б) в)

N 2

N 2

E 2

E 2

E 2

Рис. 1.2. Квантовые переходы в двухуровневой системе.

Возможны три типа оптических переходов: спонтанные ,вынужденные с поглощением ивынужденные с излучением.

Введем для этих вероятностных процессов количественные характеристики, как это впервые было сделано А. Эйнштейном.

Спонтанные переходы

Если атом (или молекула) находится в состоянии 2 в момент времени t=0 , то существует конечная вероятность того, что он перейдет в состояние 1, испустив при этом квант света (фотон) с энергией hn 21 =(E 2 -E 1) (рис.1.2а). Этот процесс, происходящий без взаимодействия с полем излучения, называется спонтанным переходом , а соответствующее излучение – спонтанным излучением . Вероятность спонтанных переходов пропорциональна времени, т.е. (dw 21) сп =A 21 dt , (1.14)

где А 21 – коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения и определяет вероятность перехода в единицу времени, =1/c.

Предположим, что в момент времени t населенность уровня 2 составляет величину N 2 . Скорость перехода этих атомов на нижний уровень вследствие спонтанного излучения пропорциональна вероятности перехода А 21 и населенности уровня, с которого происходит переход, т.е.

(dN 2 /dt) сп =-A 21 N 2. (1.15)

Из квантовой механики следует, что спонтанные переходы происходят из данного состояния только в состояния, лежащие по энергии ниже, т.е. из состояния 1 в состояние 2 спонтанных переходов нет.

Вынужденные переходы

Рассмотрим взаимодействие группы идентичных атомов с полем излучения, плотность энергии которого распределена равномерно по частотам вблизи частоты перехода. При воздействии на атом электромагнитного излучения резонансной частоты (n=ν 21 =(E 2 -E 1)/h ) существует конечная вероятность того, что атом перейдет из состояния 1 на верхний уровень 2, поглощая при этом квант электромагнитного поля (фотон) с энергией hn (рис.1.2б).

Разность энергий (E 2 -E 1) необходимая для того, чтобы атом совершал такой переход, берется из энергии падающей волны. В этом заключается процесс поглощения , который можно описать с помощью скоростного уравнения (dN 1 /dt) п =W 12 N 1 =r n B 12 N 1 , (1.16)

где N 1 – населенность уровня 1, W 12 =r v B 12 – вероятность поглощения в единицу времени, r v – спектральная объемная плотность энергии падающего излучения, В 12 – коэффициент Эйнштейна для поглощения.

Используется также другое выражение для вероятности W 12 в виде:

W 12 =s 12 F, (1.17)

где F – плотность потока падающих фотонов, s 12 – величина, называемая сечением поглощения , = м 2 .

Предположим теперь, что атом первоначально находится на верхнем уровне 2 и на вещество падает волна с частотой n=n 21 . Тогда существует конечная вероятность того, что эта волна инициирует переход атома с уровня 2 на уровень 1. При этом разность энергий (E 2 -E 1) выделится в виде электромагнитной волны, которая добавится к энергии падающей волны. Это и есть явление вынужденного (индуцированного) излучения .

Процесс вынужденного излучения можно описать с помощью скоростного уравнения: (dN 2 /dt) вын =W 21 N 2 =r n B 21 N 2 , (1.18)

где N 2 – населенность уровня 2, W 21 =r v B 21 – вероятность вынужденного перехода в единицу времени, B 21 - коэффициент Эйнштейнадлявынужденного перехода . И в этом случае для вероятности перехода справедливо соотношение: W 21 =s 21 F, (1.19)

где s 21 – сечение вынужденного излучения для перехода 2→1.

Между процессами спонтанного и вынужденного излучения имеется принципиальное отличие. Вероятности индуцированных переходов пропорциональны спектральной объемной плотности электромагнитного поля, а спонтанных от внешнего поля не зависят. В случае спонтанного излучения атом испускает электромагнитную волну, фаза которой не имеет определенной связи с фазой волны, излученной другим атомом. Более того, испущенная волна может иметь любое направление распространения.

В случае же вынужденного излучения, поскольку процесс инициируется падающей волной, излучение любого атома добавляется к этой волне в той же фазе. Падающая волна определяет также поляризацию и направление распространения испущенной волны. Таким образом, с ростом числа вынужденных переходов интенсивность волны возрастает, в то время как ее частота, фаза, поляризация и направление распространения остаются неизменными. Другими словами, в процессе вынужденных переходов из состояния E 2 в состояние E 1 происходит когерентное усиление электромагнитного излучения на частоте n 21 =(E 2 -E 1)/h. Разумеется, при этом происходят и обратные переходы E 1 ®E 2 с поглощением электромагнитного излучения.

Спонтанное излучение

Интегрируя выражение (1.15) по времени с начальным условием N 2 (t=0)=N 20 получим: N 2 (t)=N 20 exp(-A 21 t). (1.20)

Мощность спонтанного излучения находится перемножением энергии фотона hν 21 на количество спонтанных переходов в единицу времени:

P сп =hν 21 A 21 N 2 (t)V=P сп 0 exp(-A 21 t) (1.21)

где P сп 0 =hn 21 A 21 N 20 V, V – объем активной среды.

Введем понятие о среднем времени жизни атомов в возбужденном состоянии относительно спонтанных переходов. В рассматриваемой двухуровневой системе атомы, которые покидают возбужденное состояние 2 за время от t до t+Dt , очевидно, находились в этом состоянии на протяжении времени t . Число таких атомов равно N 2 A 21 Dt. Тогда их средняя продолжительность жизни в возбужденном состоянии определяется соотношением:

Представим формулу (1.22) в виде:

(1.21 а)

Величину t сп можно найти экспериментально, поскольку она фигурирует как параметр в законе затухания спонтанной люминесценции, определяемой формулой (1.21 а).

Похожая информация.

Кабардин О.Ф. Ядерные спектры //Квант. - 1987. - № 3. - С. 42-43.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Как вы знаете, атомные ядра состоят из нуклонов - протонов и нейтронов, между которыми действуют ядерные силы притяжения и кулоновские силы отталкивания. Что может произойти с ядром при его столкновении с другим ядром, частицей или гамма-квантом? Опыты Э. Резерфорда, выполненные в 1919 году, показали, например, что под воздействием альфа-частицы из ядра может быть выбит протон. В экспериментах, проведенных Д. Чедвиком в 1932 году, было установлено, что альфа-частицы могут выбивать из атомных ядер и нейтроны («Физика 10», § 106). Но всегда ли так заканчивается процесс столкновения? Не может ли атомное ядро поглотить энергию, полученную при столкновении, и перераспределить ее между входящими в его состав нуклонами, изменив тем самым свою внутреннюю энергию? Что будет происходить с таким ядром дальше?

Ответы на эти вопросы дали прямые опыты по изучению взаимодействия протонов с атомными ядрами. Их результаты очень похожи на результаты опытов Франка и Герца по изучению столкновений электронов с атомами («Физика 10», § 96). Оказывается, при постепенном увеличении энергии протонов сначала наблюдаются только упругие столкновения с атомными ядрами, кинетическая энергия не превращается в другие виды энергии, а лишь перераспределяется между протоном и атомным ядром как одной частицей. Однако, начиная с некоторого значения энергии протона, могут происходить и неупругие столкновения, при которых протон, поглощается ядром и полностью передает ему свою энергию. Ядро каждого изотопа характеризуется строго определенным набором «порций» энергии, которые оно может принять.

Превращение ядра азота с захватом альфа-частицы и испусканием протона.

Эти опыты доказывают, что ядра обладают дискретными спектрами возможных энергетических состояний. Таким образом, квантование энергии и ряда других параметров является свойством не только атомов, но и атомных ядер. Состояние атомного ядра с минимальным запасом энергии называется основным, или нормальным, состояния с избыточной энергией (по сравнению с основным состоянием) называются возбужденными.

Атомы обычно находятся в возбужденных состояниях примерно 10 -8 секунды, а возбужденные атомные ядра избавляются от избытка энергии за гораздо более короткое время - порядка 10 -15 - 10 -16 секунды. Как и атомы, возбужденные ядра освобождаются от избытка энергии, испуская кванты электромагнитного излучения. Эти кванты называются гамма-квантами (или гамма-лучами). Дискретному набору энергетических состояний атомного ядра соответствует дискретный спектр частот излучаемых ими гамма-квантов. Гамма-лучи представляют собой поперечные электромагнитные волны, такие же, как радиоволны, видимый свет или рентгеновские лучи. Они являются самым коротковолновым видом электромагнитного излучения из всех известных, и соответствующие им длины волн лежат в диапазоне примерно от 10 -11 м до 10 -13 м.

Энергетические состояния атомных ядер и переходы ядер из одного состояния в другое с поглощением или излучением энергии принято описывать с помощью энергетических диаграмм, аналогичных энергетическим диаграммам атомов («Физика 10», § 94). На рисунке представлена энергетическая диаграмма ядра изотопа железа - \(~^{58}_{26}Fe\), полученная на основе опытов по бомбардировке протонами. Заметим, что при качественном сходстве энергетических диаграмм атомов и ядер между ними есть существенные количественные различия. Если для перевода атома из основного состояния в возбужденное требуется энергия в несколько электронвольт, то для возбуждения атомного ядра необходима энергия порядка сотен тысяч или миллионов электронвольт. Это различие обусловлено тем, что ядерные силы, действующие между нуклонами в ядре, в значительной степени превосходят силы кулоновского взаимодействия электронов с ядром.

Диаграмма энергетических уровней ядра изотопа железа.

Способность атомных ядер самопроизвольно переходить из состояний с большим запасом энергии в состояние с меньшей энергией объясняет происхождение не только гамма-излучения, но и радиоактивного распада ядер.

Многие закономерности в ядерных спектрах можно объяснить, если воспользоваться так называемой оболочечной моделью строения атомного ядра. Согласно этой модели, нуклоны в ядре не перемешаны в беспорядке, а, подобно электронам в атоме, располагаются связанными группами, заполняя разрешенные ядерные оболочки. При этом протонные и нейтронные оболочки заполняются независимо друг от друга. Максимальные числа нейтронов: 2, 8, 20, 28, 40, 50, 82, 126 и протонов: 2, 8, 20, 28, 50, 82 в заполненных оболочках получили название магических. Ядра с магическими числами протонов и нейтронов обладают многими замечательными свойствами: повышенным значением удельной энергии связи, меньшей вероятностью вступления в ядерное взаимодействие, устойчивостью по отношению к радиоактивному распаду и т. п.

Переход ядра из основного состояния в возбужденное и возвращение его в основное состояние, с точки зрения оболочечной модели, объясняется переходом нуклона с одной оболочки на другую и обратно.

При большом числе достоинств оболочечная модель ядра не способна объяснить свойства всех ядер в различных типах взаимодействий. Во многих случаях более плодотворным оказывается представление о ядре как о капле ядерной жидкости, в которой нуклоны связаны ядерными силами, кулоновскими силами и силами поверхностного натяжения . Существуют и другие модели, но ни одна из предложенных до сих пор не может считаться универсальной.

Квантовые системы и их свойства.

Распределение вероятностей по энергиям в пространстве.

Статистика бозонов. Распределение Ферми-Эйнштейна.

Статистика фермионов. Распределение Ферми-Дирака.

Квантовые системы и их свойства

В классической статистике предполагается, что частицы составляющие систему подчиняются законам классической механики. Но для многих явлений при описании микрообъектов необходимо использовать квантовую механику. Если система состоит из частиц, подчиняющихся квантовой механике, то будем её называть квантовой системой.

К принципиальным отличиям классической системы от квантовой относятся:

1) Корпускулярно-волновой дуализм микрочастиц.

2) Дискретность физических величин, описывающих микрообъекты.

3) Спиновые свойства микрочастиц.

Из первого следует невозможность точного определения всех параметров системы, определяющих её состояние с классической точки зрения. Этот факт нашел отражение в соотношении неопределенностей Гейзендберга:

Для того чтобы математически описать эти особенности микрообъектов в квантовой физике, величине ставится в соответствие линейный эрмитов оператор, который действует на волновую функцию .

Собственные значения оператора определяют возможные численные значения этой физической величины, среднее по которым совпадает со значением самой величины.

Так как импульсы и коэффициенты микрочастиц системы не могут быть измерены одновременно, волновую функцию представляют либо как функцию координат:

Либо, как функцию импульсов:

Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность обнаружения микрочастицы в единице объёма:

Волновая функция, описывающая конкретную систему, находится как собственная функция оператора Гамельтона:

Стационарное уравнение Шредингера.

Нестационарное уравнение Шредингера.

В микромире действует принцип неразличимости микрочастиц.

Если волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера, то функция так же удовлетворяет этому уравнению. Состояние системы не изменится при перестановки 2 частиц.

Пусть первая частица находится в состоянии а, а вторая в состоянии в.

Состояние системы описывается:

Если частицы поменять местами, то: так как перемещение частицы не должно сказаться на поведении системы.

Это уравнение имеет 2 решения:

Оказалось, что первая функция реализуется для частиц с целым спином, а вторая с полуцелым.

В первом случае 2 частицы могут находиться в одном состоянии:

Во втором случае:

Частицы первого типа называются бозонами спин целый), частицы второго типа- фемионами (для них справедлив принцип Паули.)

Фермионы: электроны, протоны, нейтроны…

Бозоны: фотоны, дейтроны…

Фермионы и бозоны подчиняются неклассической статистике. Чтобы увидеть отличия, подсчитаем число возможных состояний системы, состоящий из двух частиц с одной энергией по двум ячейкам в фазовом пространстве.

1) Классические частицы различны. Возможно проследить за каждой частицей в отдельности.

Классические частицы.