Наибольший общий делитель взаимно простые. Взаимно простые числа: определение, примеры и свойства

Разделы: Математика , Конкурс «Презентация к уроку»

Класс: 6

Презентация к уроку

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Данная работа предназначена для сопровождения объяснения новой темы. Практические и домашние задания учитель подбирает на свое усмотрение.

Оборудование: компьютер, проектор, экран.

Ход объяснения

Слайд 1. Наибольший общий делитель.

Устная работа.

1. Вычислите:

а) 0,7 * 10 : 2 - 0,3 : 0,4 _________ ?

б) 5 : 10 * 0,2 + 2 : 0,7 _______ ?

Ответы: а) 8; б) 3.

2. Опровергните утверждение: Число “2” является общим делителем всех чисел”.

Очевидно, что нечетные числа не делятся на 2.

3. Как называются числа, кратные 2?

4. Назовите число, которое является делителем любого числа.

Письменно.

1. Разложите число 2376 на простые множители.

2. Найдите все общие делители чисел 18 и 60.

Делители числа 18: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Делители числа 60: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.

Назовите наибольший общий делитель чисел 18 и 60.

Попробуйте сформулировать, какое число называют наибольшим общим делителем двух натуральных чисел

Правило. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа , называют наибольшим общим делителем.

Пишут: НОД (18; 60) = 6.

Скажите, пожалуйста, удобен ли рассмотренный способ нахождения НОД?

Числа могут быть слишком большие и для них трудно перечислить все делители.

Давайте попытаемся найти другой способ нахождения НОД.

Разложим числа 18 и 60 на простые множители:

18 =

Приведите примеры делителей числа 18.

Числа: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Приведите примеры делителей числа 60.

Числа: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.

Приведите примеры общих делителей чисел 18 и 60.

Числа: 1; 2; 3; 6.

Как можно найти наибольший общий делитель 18 и 60?

Алгоритм.

1. Разложить данные числа на простые множители.

Одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «Ласточка» и 36 конфет «Чебурашка», если надо использовать все конфеты?

Решение. Каждое из чисел 48 и 36 должно делиться на число подарков. Поэтому сначала выпишем все делители числа 48.

Получим: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

Затем выпишем все делители числа 36.

Получим: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Общими делителями чисел 48 и 36 будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Видим, что наибольшим из этих чисел является 12. Его называют наибольший общим делителем чисел 48 и 36.

Значит, можно составить 12 подарков. В каждом подарке будет 4 конфеты «Ласточка» (48:12=4) и 3 конфеты «Чебурашка» (36:12=3).

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

Урок математики в 5 А классе по теме:

(по учебнику Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон)

Учитель математики: Данилова С.И.

Тема урока: Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Цель урока: Получить универсальный способ нахождения наибольшего общего делителя чисел. Научиться находить НОД чисел методом разложения на множители.

Формируемые результаты :

Предметные: составить и освоить алгоритм нахождения НОД, тренировать способность к его практическому применению.

Личностные: формировать умение контролировать процесс и результат учебной и математической деятельности.

Метапредметные: формировать умение находить НОД чисел, применять признаки делимости, строить логическое рассуждение, умозаключение и делать выводы.

Планируемые результаты:

Учащийся научится находить НОД чисел с помощью разложения чисел на простые множители.

Основные понятия: НОД чисел. Взаимно простые числа.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная.

Необходимое техническое оборудование: компьютер учителя, проектор, интерактивная доска.

Структура урока.

Организационный момент.

Устная работа. Гимнастика для ума.

Сообщение темы урока. Изучение нового материала.

Физкультминутка.

Первичное закрепление нового материала.

Самостоятельная работа.

Домашнее задание. Рефлексия деятельности.

Ход урока

Организационный момент. (1 мин.)

Задачи этапа: обеспечить обстановку для работы обучающихся класса и психологически подготовить их к общению на предстоящем уроке

Приветствие:

Здравствуйте, ребята!

Друг на друга поглядели,

И тихонечко все сели.

Прозвенел уже звонок.

Начинаем наш урок.

Устная работа. Гимнастика ума. (5 мин.)

Задачи этапа: вспомнить и закрепить алгоритмы ускоренных вычислений, повторить признаки делимости чисел.

В старину на Руси говорили, что умножение- мучение, а с делением беда.

Тот, кто умел быстро и безошибочно делить, считался великим математиком.

Давайте проверим можно ли вас назвать великими математиками.

Проведем гимнастику ума.

1) Выберите из множества

А={716, 9012, 11211, 123400, 405405, 23025, 11175}

числа, кратные 2, кратные 5, кратные 3.

2) Вычислите устно:

5 . 37 . 2 = 3. 50 . 12 . 3 . 2 =

2. 25 . 51 . 3 . 4 = 4. 8 . 125 . 7 =

Мотивация к учебной деятельности. Постановка цели и задач урока. (4 мин.)

Цель:

1) включение учащихся в учебную деятельность;

2) организовать деятельность учащихся по установке тематических рамок: новые способы нахождения НОД чисел;

3) создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебную деятельность.

– Ребята, над какой темой вы работали на прошлых уроках? (Над разложением чисел на простые множители) Какие знания нам при этом понадобились? (Признаки делимости)

Открыли тетради, проверим домашний номер № 638.

В домашней работе вы определяли с помощью разложения на множители делится ли число а на число b и находили частное. Давайте проверим, что у вас получилось. Проверяем № 638. В каком случае а делится на b ? Если а делится нацело на b , то чем является b для а? Чем является b для а и b ? А как вы думаете, как найти НОД чисел, если одно из них не делится на другое? Какие у вас предположения?

А теперь давайте рассмотрим задачу: «Какое наибольшее количество одинаковых подарков можно составить из 48 конфет «белочка» и 36 шоколадок «вдохновение», если надо использовать все конфеты и шоколадки?»

На доске и в тетрадях запись:

36=2*2*3*3

48=2*2*2*2*3

НОД(36,48)=2*2*3=12

Как мы можем применить разложение на множители для решения этой задачи? Что мы фактически находим? НОД чисел. Какова цель нашего урока? Научиться находить НОД чисел новым способом.

4. Сообщение темы урока. Изучение нового материала. (3.5 мин.)

Запишите число и тему урока: «Наибольший общий делитель».

(наибольший общий делитель – это наибольшее число, на которое делится каждое из данных натуральных чисел). Все натуральные числа имеют хотя бы один общий делитель – число 1.

Однако многие числа имеют несколько общих делителей. Универсальным способом поиска НОД является разложение данных чисел на простые множители.

Запишем алгоритм нахождения НОД нескольких чисел.

Разложить данные числа на простые множители.

Найти одинаковые множители и подчеркнуть их.

Найти произведение общих множителей.

Физкультминутка (встали из-за парт)- флэш ролик. (1.5 мин.)

(Запасной вариант:

Вверх мы дружно потянулись,

И друг другу улыбнулись.

Раз – хлопок и два – хлопок.

Ногой левой – топ, и правой - топ.

Покачали головой –

Разминаем шею.

Топ ногой, теперь – другой

Вместе все успеем.)

Первичное закрепление нового материала. (15 мин.)

Реализация построенного проекта

Цель:

1) организовать реализацию построенного проекта в соответствии с планом;

2) организовать фиксацию нового способа действия в речи;

3) организовать фиксацию нового способа действия в знаках (с помощью эталона);

4) организовать фиксацию преодоления затруднения;

5) организовать уточнение общего характера нового знания (возможность применения нового способа действий для решения всех заданий данного типа).

Организация учебного процесса: № 650(1-3), 651(1-3)

№ 650 (1-3).

№ 650 (2) разобрать подробно, т.к. общих простых делителей нет.

Первый пункт выполнен.

2. D (а ; b ) = нет

3. НОД (а ; b ) = 1

Что интересного вы заметили? (Числа не имеют общих простых делителей.)

В математике такие числа называются взаимно простыми числами. Запись в тетрадях:

Числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называются взаимно простыми.

а и b взаимно простые  НОД (a ; b ) = 1

Что вы можете сказать о наибольшем общем делители взаимно простых чисел?

(Наибольший общий делитель взаимно простых чисел равен 1.)

№ 651 (1-3)

Задание выполняется у доски с комментарием.

Разложим числа на простые множители, используя известный алгоритм:

75 3 135 3

25 5 45 3

5 5 15 3

1 5 5

НОД (75; 135) =3*5= 15.

180 2*5 210 2*5

18 2 21 3

9 3 7 7

3 3 1

НОД (180, 210)=2*5*3=30

125 5 462 2

25 5 231 3

5 5 77 7

1 11 11

НОД (125, 462)=1

7. Самостоятельная работа. (10 мин.)

Как доказать, что вы научились находить наибольший общий делитель чисел новым способом? (Надо выполнить самостоятельную работу.)

Самостоятельная работа.

Найдите наибольший общий делитель чисел с помощью разложения на простые множители.

Вариант 1 Вариант 2

a=2 × 3 × 3 × 7 × 11 1) a=2 × 3 × 5 × 7 × 7

b=2 × 5× 7 × 7 × 13 b=3 × 3 × 7 × 13 × 19

60 и 165 2) 75 и 135

81 и 125 3) 49 и 125

4) 180, 210 и 240 (дополнительный)

Ребята, попробуйте применить свои знания при выполнении самостоятельной работы.

Ученики сначала выполняют самостоятельную работу, затем взаимопроверка и проверка с образцом на слайде.

Проверка самостоятельной работы:

Вариант 1 Вариант 2

НОД(a,b)=2 × 7=14 1) НОД(a,b)=3 × 7=21

НОД(60, 165 )=3 × 5 =15 2) НОД(75, 135)=3 × 5 =15

НОД(81, 125)=1 3) НОД(49, 125)=1

8. Рефлексия деятельности. (5 мин.)

Что нового вы узнали на уроке? (Новый способ нахождения НОД, используя разложения на простые множители, какие числа называются взаимно простые, как найти НОД чисел, если большее число делится на меньшее число.)

Какую цель вы ставили перед собой?

Вы достигли цели?

Что вам помогло в достижении цели?

– Определите истинность для себя одного из следующих утверждений (Р-1).

Что вам необходимо сделать дома, чтобы лучше разобраться в данной теме? (Прочитать пункт, и потренироваться в нахождении НОД новым методом).

Домашнее задание:

п.2, №№ 672 (1,2); 673 (1-3), 674.

Определите истинность для себя одного из следующих утверждений:

«Я понял, как находить НОД чисел»,

«Я знаю, как находить НОД чисел, но еще допускаю ошибки»,

«У меня остались нерешенные вопросы».

Отобразите свои ответы в виде смайликов на листочке.

Общие делители

Пример 1

Найти общие делители чисел $15$ и $–25$.

Решение .

Делители числа $15: 1, 3, 5, 15$ и им противоположные.

Делители числа $–25: 1, 5, 25$ и им противоположные.

Ответ : у чисел $15$ и $–25$ общими делителями будут числа $1, 5$ и им противоположные.

Согласно свойствам делимости числа $−1$ и $1$ – делители любого целого числа, значит, $−1$ и $1$ всегда будут общими делителями для любых целых чисел.

Любой набор целых чисел всегда будет иметь как минимум $2$ общих делителя: $1$ и $−1$.

Отметим, что если целое число $a$ – общий делитель некоторых целых чисел, то –а также будет общим делителем для этих чисел.

Чаще всего на практике ограничиваются только положительными делителями, но при этом не стоит забывать, что каждое противоположное положительному делителю целое число также будет делителем данного числа.

Определение наибольшего общего делителя (НОД)

Согласно свойствам делимости у каждого целого числа есть хотя бы один делитель, отличный от нуля, и количество таких делителей конечно. В таком случае общих делителей заданных чисел также конечное число. Из всех общих делителей заданных чисел можно выделить наибольшее число.

В случае равенства всех данных чисел нулю нельзя определить наибольший из общих делителей, т.к. нуль делится на любое целое число, которых бесконечное множество.

Обозначается наибольший общий делитель чисел $a$ и $b$ в математике $НОД(a, b)$.

Пример 2

Найти НОД целых чисел 412$ и $–30$..

Решение .

Найдем делители каждого из чисел:

$12$: числа $1, 3, 4, 6, 12$ и им противоположные.

$–30$: числа $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ и им противоположные.

Общими делителями чисел $12$ и $–30$ будут $1, 3, 6$ и им противоположные.

$НОД (12, –30)=6$.

Определить НОД трех и более целых чисел можно аналогично определению НОД двух чисел.

НОД трех и более целых чисел является наибольшее целое число, которое делит одновременно все числа.

Обозначают наибольший делитель $n$ чисел $НОД(a_1, a_2, …, a_n)= b$.

Пример 3

Найти НОД трех целых чисел $–12, 32, 56$.

Решение .

Найдем все делители каждого из чисел:

$–12$: числа $1, 2, 3, 4, 6, 12$ и им противоположные;

$32$: числа $1, 2, 4, 8, 16, 32$ и им противоположные;

$56$: числа $1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56$ и им противоположные.

Общими делителями чисел $–12, 32, 56$ будут $1, 2, 4$ и им противоположные.

Найдем наибольшее из этих чисел, сравнив только положительные из них: $1

$НОД(–12, 32, 56)=4$.

В некоторых случаях НОД целых чисел может быть одно из этих чисел.

Взаимно простые числа

Определение 3

Целые числа $a$ и $b$ – взаимно простые , если $НОД(a, b)=1$.

Пример 4

Показать, что числа $7$ и $13$ – взаимно простые.

09.07.2015 6119 0

Цели: формировать навык нахождения наибольшего общего делителя; ввести понятие взаимно простых чисел; отрабатывать умение решать задачи на использование НОД чисел; учить анализировать, делать выводы.

II. Устный счет

1. Может ли разложение на простые множители числа 24 753 содержать множитель 5? Почему? (Нет, так как запись данного числа не оканчивается цифрой 0 или 5.)

2. Назовите число, которое делится на все числа без остатка. (Нуль.)

3. Сумма двух целых чисел нечетна. Четно или нечетно их произведение? (Если сумма двух чисел нечетна, то одно число четно, второе нечетно. Так как один из множителей четное число, следовательно, он делится на 2, значит и произведение делится на 2. Тогда и все произведение четно.)

4. В одной семье у каждого из трех братьев есть сестра. Сколько детей в семье? (4 детей: трое мальчиков и одна их сестра.)

III . Индивидуальная работа

Разложите число 210 всеми возможными способами:

а) на 2 множителя; (210 = 21 · 10 = 14 · 15 = 7 · 30 = 70 · 3 = 6 · 35 = 42 · 5 = 105 · 2.)

б) на 3 множителя; (210 = 3 · 7 · 10 = 5 · 3 · 14 = 7 · 5 · 6 = 35 · 2 · 3 = 21 · 2 · 5 = 7 · 2 · 15.)

в) на 4 множителя. (210 = 3 · 7 · 2 · 5.)

IV. Сообщение темы урока

«Числа правят миром». Эти слова принадлежат древнегреческому математику Пифагору, жившему в V в. до н.э.

Сегодня мы познакомимся еще с одной группой чисел, которые называются взаимно простыми.

V. Изучение нового материала

1. Подготовительная работа.

№ 146 стр. 25 (на доске и в тетрадях). (Самостоятельно, в это время один ученик работает на обратной стороне доски.)

Найдите все делители каждого числа.

Подчеркните их общие делители.

Запишите наибольший общий делитель.

Ответ:

Какие числа имеют только один общий делитель? (35 и 88.)

2. Работа над новой темой.

(Самостоятельно, в это время один ученик работает на обратной стороне доски.)

Найдите наибольший общий делитель чисел: 7 и 21; 25 и 9; 8 и 12; 5 и 3; 15 и 40; 7 и 8.

Ответ:

НОД (7; 21) = 7; НОД (25; 9) = 1; НОД (8; 12) = 4;

НОД (5; 3)= 1; НОД (15; 40) = 5; НОД (7; 8) = 1.

У каких пар чисел одинаковый общий делитель? (25 и 9; 5 и 3; 7 и 8 - общий делитель 1.)

Такие числа называются взаимно простыми.

Дайте определение взаимно простых чисел.

Приведите примеры взаимно простых чисел. (35 и 88, 3 и 7; 12 и 35; 16 и 9.)

VI. Историческая минутка

Древние греки придумали замечательный способ, позволяющий искать наибольший общий делитель двух натуральных чисел без разложения на множители. Он носил название «Алгоритма Евклида».

О жизни греческого математика Евклида достоверные данные неизвестны. Ему принадлежит выдающееся научное произведение, называемое «Начала». Оно состоит из 13 книг и излагает основы всей древнегреческой математики.

Именно здесь описывается алгоритм Евклида, который заключается в том, что наибольшим общим делителем двух натуральных чисел является последний, отличный он нуля, остаток при последовательном делении этих чисел. Под последовательным делением подразумевается деление большего числа на меньшее, меньшего числа на первый остаток, первого остатка на второй остаток и т.д., пока деление не закончится без остатка. Положим, требуется найти НОД (455; 312), тогда

455: 312 = 1 (ост. 143), получаем 455 = 312 · 1 + 143.

312: 143 = 2 (ост. 26), 312 = 143 · 2 + 26,

143: 26 = 5 (ост. 13), 143 = 26 · 5 + 13,

26: 13 = 2 (ост. 0), 26 = 13 · 2.

Последний делитель или последний, отличный от нуля остаток 13 и будет искомым НОД (455; 312) = 13.

VII. Физкультминутка

VIII. Работа над задачей

1. № 152 стр. 26 (с подробным комментированием у доски и в тетрадях).

Прочитайте задачу.

О ком говорится в задаче?

О чем говорится в задаче?

Назовите 1-й вопрос задачи.

Как узнать, сколько ребят было на елке? (Найти НОД чисел 123 и 82.)

Прочитайте задание к этой задаче из тетрадей. (Количество апельсинов и яблок должно делиться на одно и то же наибольшее число.)

Как узнать, сколько апельсинов было в каждом подарке? (Все количество апельсинов разделить на количество присутствующих на елке детей.)

Как узнать, сколько яблок было в каждом подарке? (Все количество яблок разделить на количество присутствующих на елке детей.)

Запишите решение задачи в тетрадях на печатной основе.

Решение:

НОД (123; 82) = 41, значит, 41 человек.

123: 41 = 3 (ап.)

82: 41 = 2 (ябл.)

(Ответ: ребят 41, апельсинов 3, яблок 2.)

2. № 164 (2) стр. 27 (после краткого разбора, один ученик - на обратной стороне доски, остальные самостоятельно, потом самопроверка).

Прочитайте задачу.

Чему равна градусная мера развернутого угла?

Если один угол в 4 раза меньше, то что можно сказать про второй угол? (Он в 4 раза больше.)

Запишите это в краткую запись.

Каким способом будете решать задачу? (Алгебраическим.)

Решение:

1) Пусть х - градусная мера угла СОК,

4х - градусная мера угла KOD .

Так как сумма углов СОК и KOD равна 180°, то составим уравнение:

х + 4х = 180

5х = 180

х = 180: 5

х = 36; 36° - градусная мера угла СОК.

2) 36 · 4 = 144° - градусная мера угла KOD .

(Ответ: 36°, 144°.)

Постройте эти углы.

Определите вид углов СОК и KOD . (Угол СОК - острый, угол KOD - тупой.)

Почему?

IX. Закрепление изученного материала

1. № 149 стр. 26 (у доски с подробным комментарием).

Что нужно сделать, чтобы определить, являются ли числа взаимно простыми? (Найти их наибольший общий делитель, если он равен 1, то числа взаимно простые.)

2. № 150 стр. 26 (устно).

Подтвердите свой ответ. (9 и 14; 14 и 15; 14 и 27 - пары взаимно простых чисел, так как их НОД равен 1.)

3. № 151 стр. 26 (один ученик у доски, остальные в тетрадях).

(Ответ: .)

Кто не согласен?

4. Устно, с подробным объяснением.

Как находят наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел? (Находят так же, как и двух чисел.)

Найдите наибольший общий делитель чисел:

а) 18, 14 и 6; б) 26, 15 и 9; в) 12, 24, 48; г) 30, 50, 70.

Решение:

а) 1. Проверим, делятся ли числа 18 и 14 на 6. Нет.

2. Разложим на простые множители наименьшее число 6 = 2 · 3.

3. Проверим, делятся ли числа 18 и 14 на 3. Нет.

4. Проверим, делятся ли числа 18 и 14 на 2. Да. Следовательно, НОД (18; 14; 6) = 2.

б) НОД (26; 15; 9) = 1.

Что можно сказать об этих числах? (Они взаимно простые.)

в) НОД (12; 24; 48) = 12.

г) НОД (30; 50; 70) = 10.

X. Самостоятельная работа

Взаимопроверка. (На закрывающейся доске записаны ответы.)

Вариант I. № 161 (а, б) стр. 27, № 157 (б - 1 и 3 число) стр. 27.

Вариант II . № 161 (в, г) стр. 27, № 157 (б - 2 и 3 число) стр. 27.

XI. Подведение итогов урока

Какие числа называют взаимно простыми?

Как можно узнать, являются ли данные числа взаимно простыми?

Как найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел?

Домашнее задание

№ 169 (6), 170 (в, г), 171, 174 стр. 28.

Дополнительное задание: При перестановке цифр простого числа 311 опять получится простое число (проверьте это по таблице простых чисел). Найдите все двузначные числа, обладающие таким же свойством. (113, 131; 13, 31; 17, 71; 37, 73; 79, 97.)