Сравнение значений двух величин. Относительные величины

Сначала рассмотрим задачу сравнения величины измеряемой в эксперименте, с константой а. Величину можно определить лишь приближенно, вычисляя среднее по измерениям. Надо узнать, выполняется ли соотношение . В этом случае ставят две задачи, прямую и обратную:

а) по известной величине найти константу а, которую превосходит с заданной вероятностью

б) найти вероятность того, что , где а - заданная константа.

Очевидно, если то вероятность того, что меньше 1/2. Этот случай не представляет интереса, и далее будем считать, что

Задача сводится к задачам, разобранным в п. 2. Пусть по измерениям определены X и его стандарт

Число измерений будем считать не очень малым, так что есть случайная величина с нормальным распределением. Тогда из критерия Стьюдента (9) при учете симметрии нормального распределения следует, что для произвольно выбранной вероятности выполняется условие

Полагая перепишем это выражение в следующем виде:

где - заданные в таблице 23 коэффициенты Стьюдента. Тем самым, прямая задача решена: найдена константа а, которую с вероятностью превышает

Обратная задача решается при помощи прямой. Перепишем формулы (23) следующим образом:

Это значит, что надо вычислить t по известным значениям а, выбрать в таблице 23 строку с данным - и найти по величине t соответствующее значение Оно определяет искомую вероятность

Две случайные величины. Часто требуется установить влияние некоторого фактора на исследуемую величину - например, увеличивает ли (и насколько) прочность металла определенная присадка. Для этого надо измерить прочность исходного металла и прочность легированного металла у и сравнить эти две величины, т. е. найти

Сравниваемые величины являются случайными; так, свойства металла определенной марки меняются от плавки к плавке, поскольку сырье и режим плавки не строго одинаковы. Обозначим эти величины через . Величина исследуемого эффекта равна и требуется определить, выполняется ли условие

Таким образом, задача свелась к сравнению случайной величины с константой а, разобранному выше. Прямая и обратная задачи сравнения в этом случае формулируются следующим образом:

а) по результатам измерений найти константу а, которую превосходит с заданной вероятностью (т. е. оценить величину исследуемого эффекта);

б) определить вероятность того, что где а - желательная величина эффекта; при это означает, чтонадо определить вероятность, с которой

Для решения этих задач надо вычислить z и дисперсию этой величины. Рассмотрим два способа их нахождения.

Независимые измерения. Измерим величину в экспериментах, а величину экспериментах, независимых от первых экспериментов. Вычислим средние значения по обычным формулам:

Эти средние сами являются случайными величинами, причем их стандарты (не путать со стандартами единичных измерений!) приближенно определяются несмещенными оценками:

Поскольку эксперименты независимы, то случайные величины х и у также независимы, так что при вычислении их математические ожидания вычитаются, а дисперсии складываются:

Несколько более точная оценка дисперсии такова:

Таким образом, и ее дисперсия найдены, и дальнейшие вычисления производятся по формулам (23) или (24).

Согласованные измерения. Более высокую точность дает другой способ обработки, когда в каждом из экспериментов одновременно измеряют . Например, после выпуска половины плавки в оставшийся в печи металл добавляют присадку, а затем сравнивают образцы металла из каждой половины плавки.

При этом, по существу, в каждом эксперименте измеряют сразу значение одной случайной величины , которую надо сравнить с константой а. Обработка измерений тогда производится по формулам (21)-(24), где вместо надо всюду подставить z.

Дисперсия при согласованных измерениях будет меньше, чем при независимых, поскольку она обусловлена только частью случайных факторов: те факторы, которые согласованно меняют , не влияют на разброс их разности. Поэтому такой способ позволяет получить более достоверные выводы.

Пример. Любопытной иллюстрацией сравнения величин является определение победителя в тех видах спорта, где судейство ведется «на глазок» - гимнастика, фигурное катание и т. д.

Таблица 24. Судейские оценки в баллах

В таблице 24 приведен протокол соревнований по выездке на Олимпийских играх 1972 г. Видно, что разброс судейских оценок велик, причем ни одну оценку нельзя признать грубо ошибочной и откинуть. На первый взгляд кажется, что достоверность определения победителя невелика.

Рассчитаем, насколько правильно определен победитель, т. е. какова вероятность события . Поскольку оценки обеим всадницам выставлялись одними и теми же судьями, можно воспользоваться способом согласованных измерений. По таблице 24 вычисляем подставляя в формулу (24) эти значения и получим .

Выбирая в таблице 23 строку находим, что этому значению t соответствует Отсюда т. е. с вероятностью 90% золотая медаль присуждена правильно.

Сравнение по способу независимых измерений даст несколько худшую оценку, поскольку оно не использует информацию о том, что оценки выставляли одни и те же судьи.

Сравнение дисперсий. Пусть требуется сравнить две методики эксперимента. Очевидно, точнее та методика, у которой дисперсия единичного измерения меньше (разумеется, если при этом не увеличивается систематическая ошибка). Значит, надо установить, выполняется ли неравенство .

Предмет: математика

Наименование учебно-методического комплекта (УМК): «РИТМ »

Тема урока: Сравнение чисел и величин по длине, объёму, массе .

Тип урока: Систематизация и обобщение знаний.

Цель урока: учить первоклассников устанавливать связи «схема-признак»; восстановить в их памяти способы сравнения предметов по изученным признакам; обобщить и закрепить материал о величинах (на примере величин длина, объем, масса).

Задачи урока:

Сформировать способность к описанию результатов наблюдений за свойствами предметов (цвет, форма, размер, материал, объем, площадь, масса);

Сформировать умение выделять совокупности предметов или фигур, обладающих общим признаком;

Тренировать мыслительные операции, развивать моторику мелких мышц, способность к самоконтролю, развивать навыки общения;

Воспитывать у учащихся отношения делового сотрудничества (доброжелательность друг к другу, уважать мнение других, уметь слушать товарищей);

Прививать интерес к предмету.

Планируемые результаты:

Личностные :

Формировать учебно-познавательный интерес к материалу;

Умение оценивать свою работу и работу своих товарищей;

Воспитывать ответственность за свою работу;

Развивать мотивацию к учению и познанию;

готовность и способность к саморазвитию, развитие толерантности.

Метапредметные:

регулятивные:

Уметь определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя;

Проговаривать последовательность действий на уроке;

Понимать учебную задачу урока; осуществлять решение учебной задачи под руководством учителя;

Оценивать правильность выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки;

Высказывать своё предположение;

познавательные:

Уметь ориентироваться в своей системе знаний;

Находить ответы на вопросы, используя учебник, свой жизненный опыт и информацию, полученную на уроке;

коммуникативные:

Формулировать собственное мнение и позицию;

Слушать и понимать мнение других;

Выполнять правила работы в паре;

Предметные:

Умение отличать свойства предметов, которые являются величинами, от тех свойств, которые не являются величинами;

Знания о том, что можно делать с величинами: сравнивать, измерять;

Умение сравнивать величины и их числовые значения;

Умение сравнивать результаты;

Умение работать в группе.

Оборудование урока : демонстрационные карточки с названиями признаков (длина, объем, цвет, площадь, форма, периметр, ширина, материал, масса), карточки (индивидуальные), весы, 4 кубика (внешне одинаковые, но различные по массе – 2 кубика одинаковой массы), демонстрационный кораблик, презентация к уроку.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, раздаточный материал для работы групп (шарики, мячики, коробочки из разного материала, разные по размеру, воздушные шары, проволока), математический веер, карточки для индивидуальной работы.

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА УРОКА

Организационный момент
Деятельность учителя	Деятельность учащихся
Здравствуйте. Я рада приветствовать вас. Давайте создадим для успешной работы хорошее настроение. Посмотрите друг на друга добрыми глазами. Улыбнитесь друг другу доброй улыбкой. Подарите друг другу добрый взгляд. Скажите друг другу, негромко, доброе слово. Настроение отличное. Начнем работу Готовы ли вы начать урок? Проверьте свое рабочее место.	Проверяют готовность к уроку. Слушают учителя. Делятся своим настроением, говорят добрые слова. Настраиваются на предстоящую работу в классе
Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.
Над какой учебной задачей мы будем работать? По каким признакам мы сравниваем величины? (по длине, объёму, массе) Умеете ли вы сравнивать величины? Покажите нашими специальными значками как вы сравниваете по длине, периметру, площади, материалу, цвету, форме, массе, объему.	Дети отвечают на вопросы. Показывают значками, как нужно сравнивать предметы по какому-то признаку.
Актуализация знаний
1.Конкретно - практическая работа по сравнению предметов по заданному признаку Что показывает схема? (предметы неодинаковые по какому- то признаку) Задания по группам : Найти предметы неодинаковые по длине Найти предметы неодинаковые по массе Найти предметы неодинаковые по размеру -Назовите величины. ДЛИНА ЦВЕТ МАССА ВЕЛИЧИНЫ ОБЪЁМ ЗАПАХ ФОРМА – Почему они являются величинами?	Масса, длина, объем. Их можно измерить. Мы будем говорить о величинах.
Выдаю группе проволочки одинаковой длины. Сделайте ломаные из 2-х, 3-х, 4-х, 5-ти звеньев. По какому признаку ломаные одинаковые? (материал, длина)
Сравнение величин По какому признаку можно сравнить 2 предмета? Какая схема подходит? 1. Мышка и слон. Сравниваем по массе, размеру 2. Треугольник и квадрат. Сравниваем по размеру или форме 3. Два сосуда с водой. Сравниваем по объёму. Крош и Ёжик решили помочь Нюше полить цветы.	Смотрят слайды, сравнивают
Устный счёт Сравниваем величины по количеству предметов. Ставим знак больше или меньше. На сколько больше или меньше? Пингвины 2 и 4 Рыбки 8 и 4 Ключи 3 и 1 Будильники и настольные лампы 3 и 4 Какое число на 2 больше 3, 4 Какое число меньше 8 на 1 , на 3 меньше 6, на 1 больше 10	По картинкам сравниваем их количество Показываем ответ с помощью математического веера
Обобщение и систематизация знаний
– Ребята, о чем мы сегодня будем говорить на уроке? Чтобы узнать побольше о них, я предлагаю вам поработать в группах. Каждая группа получит свое задание, в котором нужно выполнить практическую работу. – Работая в группе, мы должны соблюдать правила. (Слайд № ) В группе должен быть ответственный. Один говорит – другие слушают. Своё несогласие высказывай вежливо. Если не понял, переспроси. Работать должен каждый на результат. Задание 1 группе Вставь число, которое соответствует массе животного 8, 5 и 2 2) Поставь знаки больше, меньше или равно. Задание 2 группе 1) Измерь длину рыбки по линейке и запиши. Меченосец 2). Восстанови запись: Оцени работу. Задание 4 группе Выполни практическую работу. 1) Измерь объём кружки, стакана, банки, используя мерку – кружку и запиши данные. 2) Восстанови запись: Оцени работу . IV. Обобщение. Выводы по группам. 1 группа – Какая величина была в вашем задании? = Масса. – Что вы делали с единицами массы? = Соотносили, сравнивали. – В каких единицах измеряли массу? (кг) -Кто из животных имеет большую массу? Кто из животных имеет меньшую массу? Котенок? Для чего человек это должен знать? = При покупке товаров в магазине. 2 группа = Мы работали с длиной. – Какие действия вы выполняли? = Соотносили, измеряли линейкой. = Сравнивали длину рыб. – Что у вас получилось? = Меченосец больше Гуппи, Гуппи больше Данио, а значит Меченосец больше Данио. – Назовите единицы измерения длины? 3группа – С какой величиной работали вы? = Объемом. – Какой меркой вы пользовались? = Кружкой. – Что у вас получилось при сравнении кружки, банки, стакана? = Объем кружки равен объему стакана, объем стакана равен объему банки, объем кружки равен объему банки. Какой стандартной единицей измерения объёма мы пользуемся сейчас? = Литром. – Где нам могут пригодиться эти знания? = В магазине при покупке товаров: молока, кваса, сока. = При приготовлении пищи. Назовите меры измерения жидкостей? Вывод делается по таблице которая получилась в ходе ответов уч-ся. Величина Единицы измерения Старинные ед. измерения Берковец пуд фунт Дюйм вершок локоть сажень Бочка, ведро, кружка – Какие действия мы выполняли с величинами? = Измеряли, соотносили, сравнивали величины, сравнивали единицы величин.	О величинах Ребята работают в группах. Каждая группа выполняет своё задание. Демонстрируют свою работу. Отвечают на вопросы.
Физминутка
Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция
Каллиграфическая минутка Какое число следует за числом 6? предшествует числу 7? Самостоятельная работа.	Дети отвечают на вопросы Выполняют самостоятельную работу на карточках Проверяют работу в группах Проверяем работу вместе, зачитывая ответы
По какому признаку сравнили величины? Стр. 103, № 7 Учебник и слайды По какому признаку сравнила предметы Ира? (по объёму) Даша? (по высоте) Таня? (по массе) Сравните предметы с помощью схемы.	Дети рассматривают рисунки, схемы, сопоставляют рисунки со схемами и делают выводы
Составление задач с опорой на рисунок и схему Стр. 111, № 18 Давайте составим задачу про отца и сына. По схеме определяем, чему равны величины. Что это? (Пакет с овощами и картошкой) По какому признаку можно сравнить эти предметы? (по массе) Что это? (ведра с водой) По какому признаку можно сравнить эти предметы? (по объёму) Что это? (2 рыбки) По какому признаку можно сравнить эти предметы	В группах дети коллективно составляют задачи. Проговаривают текст задачи с опорой на рисунок и схему. Устно отвечают на вопрос. Показывают на схеме, на сколько одна величина больше или меньше другой
Рефлексия (подведение итогов занятия)
Над какой темой мы сегодня работали? У меня всё получилось Я испытывал затруднения Я ничего не понял В чём вы испытывали затруднения? Что вы делали легко, без затруднений?	Показывают с помощью знака, своё отношение к уроку. Высказывают своё отношение.
Дополнительное задание Задача на логическое мышление
1. Стоя на одной ноге, курица весит 1кг. Сколько весит эта курица, когда она стоит на двух ногах? 2 одинаковых арбуза весят столько же, сколько 3 одинаковых дыни. Что тяжелее: арбуз или дыня?	Вывод: Курица, стоя на двух ногах, весит 1 кг.

Относительная величина – это результат деления (сравнения) двух абсолютных величин. В числителе дроби стоит величина, которую сравнивают, а в знаменателе – величина, с которой сравнивают (база сравнения). Например, если сопоставить величины экспорта США и России, которые в 2005 году составили 904,383 и 243,569 млрд. долл. соответственно, то относительная величина покажет, что величина экспорта США в 3,71 раза (904,383/243,569) больше экспорта России, при этом базой сравнения является величина экспорта России. Полученная относительная величина выражена в виде коэффициента , который показывает, во сколько раз сравниваемая абсолютная величина больше базисной. В данном примере база сравнения принята за единицу. В случае если основание принимается за 100, относительная величина выражается в процентах (% ), если за 1000 – в промилле (‰ ). Выбор той или иной формы относительной величины зависит от ее абсолютного значения:

– если сравниваемая величина больше базы сравнения в 2 раза и более, то выбирают форму коэффициента (как в вышеприведенном примере);

– если относительная величина близка к единице, то, как правило, ее выражают в процентах (например, сравнив величины экспорта России в 2006 и 2005 годах, которые составили 304,5 и 243,6 млрд. долл. соответственно, можно сказать, что экспорт в 2006 году составляет 125% от 2005 года );

– если относительная величина значительно меньше единицы (близка к нулю), ее выражают в промилле (например, в 2004 году Россия экспортировала в страны-СНГ всего 4142 тыс. т нефтепродуктов, в том числе в Грузию 10,7 тыс. т, что составляет 0,0026 , или 2,6‰ от всего экспорта нефтепродуктов в страны СНГ).

Различают относительные величины динамики, структуры, координации, сравнения и интенсивности, для краткости именуемые в дальнейшем индексами .

Индекс динамики характеризует изменение какого-либо явления во времени. Он представляет собой отношение значений одной и той же абсолютной величины в разные периоды времени. Данный индекс определяется по формуле (2):

где цифры означают: 1 – отчетный или анализируемый период, 0 – прошлый или базисный период.

Критериальным значением индекса динамики служит единица (или 100%), то есть если >1, то имеет место рост (увеличение) явления во времени; если =1 – стабильность; если <1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – индекс изменения , вычитая из которого единицу (100%), получают темп изменения (динамики) с критериальным значением 0, который определяется по формуле (3):

Если T >0, то имеет место рост явления; Т =0 – стабильность, Т <0 – спад.

В рассмотренном выше примере про экспорт России в 2006 и 2005 году был рассчитан именно индекс динамики по формуле (2): i Д = 304,5/243,6*100% = 125%, что больше критериального значения 100%, что свидетельствует об увеличении экспорта. Используя формулу (3) получим темп изменения: Т = 125% – 100% = 25%, который показывает, что экспорт увеличился на 25%.

Разновидностями индекса динамики являются индексы планового задания и выполнения плана, рассчитываемые для планирования различных величин и контроля их выполнения.

Индекс планового задания – это отношение планового значения признака к базисному. Он определяется по формуле (4):

где X’ 1 – планируемое значение; X 0 – базисное значение признака.

Например, таможенное управление перечислило в федеральный бюджет в 2006 году 160 млрд.руб., а на следующий год запланировали перечислить 200 млрд.руб., значит по формуле (4): i пз = 200/160 = 1,25, то есть плановое задание для таможенного управления на 2007 год составляет 125% от предыдущего года.

Для определения процента выполнения плана необходимо рассчитать индекс выполнения плана , то есть отношение наблюдаемого значения признака к плановому (оптимальному, максимально возможному) значению по формуле (5):

Например, на январь-ноябрь 2006 года таможенные органы запланировали перечислить в федеральный бюджет 1,955 трлн. руб., но фактически перечислили 2,59 трлн. руб., значит по формуле (5): i ВП = 2,59/1,955 = 1,325, или 132,5%, то есть плановое задание выполнили на 132,5%.

Индекс структуры (доля ) – это отношение какой-либо части объекта (совокупности) ко всему объекту. Он определяется по формуле (6):

В рассмотренном выше примере про экспорт нефтепродуктов в страны СНГ, была рассчитана доля этого экспорта в Грузию по формуле (6): d =10,7/4142 = 0,0026, или 2,6‰ .

Индекс координации – это отношение какой-либо части объекта к другой его части, принятой за основу (базу сравнения). Он определяется по формуле (7):

Например, импорт России в 2006 году составил 163,9 млрд.долл., тогда, сравнив его с экспортом (база сравнения), рассчитаем индекс координации по формуле (7): i К = 163,9/304,5 = 0,538, который показывает соотношение между двумя составными частями внешнеторгового оборота, то есть величина импорта России в 2006 году составляет 53,8% от величины экспорта. Меняя базу сравнения на импорт, по той же формуле получим: i К = 304,5/163,9 = 1,858, то есть экспорт России в 2006 году в 1,858 раза больше импорта, или экспорт составляет 185,8% от импорта.

Индекс сравнения – это сравнение (соотношение) разных объектов по одинаковым признакам. Он определяется по формуле (8):

где А , Б – сравниваемые объекты.

В рассмотренном выше примере, в котором сопоставлялись величины экспорта США и России, был рассчитан именно индекс сравнения по формуле (8): i с = 904,383/243,569 = 3,71. Меняя базу сравнения (то есть экспорт России – объект А, а экспорт США – объект Б), по той же формуле получим: i с = 243,569/904,383 = 0,27, то есть экспорт России составляет 27% от экспорта США.

Индекс интенсивности – это соотношение разных признаков одного объекта между собой. Он определяется по формуле (9):

где X – один признак объекта; Y – другой признак этого же объекта

Например, показатели выработки продукции в единицу рабочего времени, затрат на единицу продукции, цены единицы продукции и т.д.

Валерий Галасюк – академик АЭН Украины, генеральный директор аудиторской фирмы “КАУПЕРВУД” (г. Днепропетровск), член Президиума Совета Союза аудиторов Украины, член Аудиторской Палаты Украины, председатель ревизионной комиссии Украинского общества оценщиков, заместитель председателя Правления Ассоциации налогоплательщиков Украины, заместитель председателя комиссии по оценке эффективности инвестиционной деятельности Украинского общества финансовых аналитиков, ведущий оценщик Украинского общества оценщиков
Виктор Галасюк – директор департамента кредитного консалтинга информационно-консалтинговой фирмы “ИНКОН-ЦЕНТР” (консалтинговая группа “КАУПЕРВУД”), магистр экономики предприятия, лауреат конкурсов молодых оценщиков Украинского общества оценщиков

Математика – единственный совершенный метод,
позволяющий провести самого себя за нос
Эйнштейн

Мое дело сказать правду, а не заставить верить в нее
Руссо

Данная статья посвящена фундаментальной проблеме, возникающей в процессе численного сравнения величин. Сущность этой проблемы заключается в том, что при определенных условиях различные способы численного сравнения одних и тех же величин фиксируют разную степень их неравенства . Уникальность данной проблемы состоит не столько в том, что она до сих пор не была решена, хотя, казалось бы, процедуры численного сравнения досконально изучены и не вызывают вопросов даже у школьников, сколько в том, что она до сих пор не нашла должного отражения в общественном сознании и, что еще более важно, в практической деятельности.

Как известно, численно сравнивать две величины можно либо отвечая на вопрос «На сколько одна величина больше другой?», либо отвечая на вопрос «Во сколько раз одна величина больше другой?». То есть для того, чтобы численно сравнить две величины необходимо либо вычесть одну из другой (), либо разделить одну на другую (). При этом, как показали исследования, существует всего два исходных типа критериев численного сравнения величин: и , и ни один из них не имеет исключительного права на существование .

Возможны всего 13 качественно различающихся вариантов соотношения на числовой оси значений двух сравниваемых величин X и Y (см. рис.1) .

При сравнении двух величин X и Y на базе критерия сравнения при любом варианте их соотношения на числовой оси не возникает проблем. Ведь независимо от значений величин X и Y, критерий сравнения однозначно характеризует расстояние между точками X и Y на числовой оси.

Вместе с тем использование критерия сравнения для сравнения величин X и Y при некоторых вариантах их соотношения на числовой оси может привести к возникновению проблем , так как в этих случаях значения величин X и Y могут оказать значительное влияние на результаты сравнения. Например, при сравнении величин 0,0100000001 и 0,0000000001, соответствующих варианту 5 на «четках Галасюка», использование критерия сравнения показывает, что первое число больше второго на 0,01, а использование критерия сравнения показывает, что первое число больше второго в 100 000 001 раз. Таким образом, при определенном соотношении сравниваемых величин на числовой оси, критерий сравнения указывает на незначительную степень неравенства сравниваемых величин X и Y, а критерий сравнения указывает на значительную степень их неравенства .

Или, например, при сравнении величин 1 000 000 000 100 и
1 000 000 000 000, соответствующих тому же варианту 5 на «четках Галасюка», использование критерия сравнения показывает, что первое число больше второго на 100, а использование критерия сравнения показывает, что первое число приблизительно равно второму, поскольку оно больше второго числа лишь в 1,0000000001 раз. Таким образом, при определенном соотношении сравниваемых величин на числовой оси, критерий сравнения указывает на значительную степень неравенства сравниваемых величин X и Y, а критерий сравнения указывает на незначительную степень их неравенства .

Поскольку проблема, о которой идет речь в данной статье, возникает лишь при использовании критерия сравнения , то для ее изучения рассмотрим сравнение двух величин m и n на базе критерия сравнения . Для сравнения этих величин разделим m на n : .

Анализ результатов сравнения величин m и n осуществим в два этапа: на первом неизменным примем знаменатель отношения – величину n , на втором числитель - величину m (см.рис.2).

Для осуществления первого этапа анализа построим график зависимости отношения от величины m (см.рис.3), при этом следует отметить, что при n =0 отношение не определено.

Как видно на рисунке 3, если n=const, n¹0, то при |m|→∞ отношение | |→∞, а при |m|→0 отношение | |→0.

Для осуществления второго этапа анализа, построим график зависимости отношения от величины n (см.рис.4), при этом следует отметить, что при n =0 отношение не определено.

Как видно на рисунке 4, если m=const, m¹0, n¹0, то при |n|→∞ отношение | |→0, а при |n|→0 отношение | |→∞. Следует обратить внимание, что при возрастании значений |n | равные изменения |n | влекут все меньшие изменения отношения | |. А при приближении к нулю значений |n | равные изменения |n | влекут все большие изменения отношения | |.

Обобщив результаты I и II этапов анализа, представим их в виде следующей таблицы, включив в нее также и результаты анализа сравнения на базе исходного типа критериев (см. табл.1). Ситуации, при которых X=0 и Y=0 нами здесь не рассматриваются. Мы надеемся проанализировать их в будущем.

Таблица 1

Обобщенные результаты анализа сравнения величин X и Y
на основе двух исходных типов критериев сравнения

(X ¹ 0 и Y ¹ 0)

7. Галасюк В.В. Сколько должно быть исходных типов критериев экономической эффективности затрат: один, два, три…?//Фондовый рынок.-2000.-№3.-С.39-42. 8. Галасюк В.В. О двух исходных типах критериев экономической эффективности затрат//Вопросы оценки,Москва.-2000.-№1.-С.37-40. 9. Пуанкаре Анри. О науке: Пер. с франц.-М.-Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.-560 с. 20.10.2002 Координаты авторов: Консалтинговая группа «КАУПЕРВУД», Украина, г. Днепропетровск, ул. Гоголя 15-а, тел./факсы: (38 0562) 47-16-36, 47-83-98, (38 056) 370-19-76 www : www.galasyuk.com , www.cowperwood.dnepr.net , www.ccf.com.ua , e-mail: [email protected] , [email protected] , [email protected] , [email protected]