Главная » Тургенев И.С » Как строить графики функций квадратных уравнений. Квадратичная функция

Как строить графики функций квадратных уравнений. Квадратичная функция

В математике есть целый цикл тождеств, среди которых значимое место занимают квадратичные уравнения. Подобные равенства могут решаться как отдельно, так и для построения графиков на оси координат. уравнений являются точками пересечения параболы и прямой ох.

Общий вид

В общем виде имеет следующую структуру:

В роли "икса" могут рассматриваться как отдельные переменные, так и целые выражения. Например:

(x+7) 2 +3(x+7)+2=0.

В том случае, когда в роли х выступает выражение, необходимо представить его как переменную и найти После этого к ним приравнять многочлен и найти х.

Так, если (х+7)=а, то уравнение принимает вид а 2 +3а+2=0.

Д=3 2 -4*1*2=1;

а 1 =(-3-1)/2*1=-2;

а 2 =(-3+1)/2*1=-1.

При корнях, равных -2 и -1, получим следующее:

x+7=-2 и x+7=-1;

Корни являются значением х-координаты точки пересечения параболы с осью абсцисс. В принципе, их значение не так уж и важно, если поставлена задача лишь найти вершину параболы. Но для построения графика корни играют важную роль.

Вернемся к начальному уравнению. Для ответа на вопрос о том, как найти вершину параболы, необходимо знать следующую формулу:

где х вп - это значение х-координаты искомой точки.

Но как найти вершину параболы без значения у-координаты? Подставляем полученное значение х в уравнение и находим искомую переменную. Например, решим следующее уравнение:

Находим значение х-координаты для вершины параболы:

х вп =-b/2a=-3/2*1;

Находим значение у-координаты для вершины параболы:

у=2х 2 +4х-3=(-1,5) 2 +3*(-1,5)-5;

В результате получаем, что вершина параболы находится в точке с координатами (-1,5;-7,25).

Парабола представляет собой соединение точек, имеющее вертикальную По этой причине само ее построение не представляет особого труда. Самое сложное - это произвести правильные расчеты координат точек.

Стоит обратить особое внимание на коэффициенты квадратного уравнения.

Коэффициент а влияет на направление параболы. В том случае, когда он имеет отрицательное значение, ветви будут направлены вниз, а при положительном знаке - вверх.

Коэффициент b показывает, насколько широк будет рукав параболы. Чем больше его значение, тем он будет шире.

Коэффициент с указывает на смещение параболы по оси ОУ относительно начала координат.

Как найти вершину параболы, мы уже узнали, а чтобы найти корни, следует руководствоваться следующими формулами:

где Д - это дискриминант, который необходим для нахождения корней уравнения.

x 1 =(-b+V - Д)/2a

x 2 =(-b-V - Д)/2a

Полученные значения х будут соответствовать нулевым значениям у, т.к. они являются точками пересечения с осью ОХ.

После этого отмечаем на вершину параболы и полученные значения. Для более детального графика необходимо найти еще несколько точек. Для этого выбираем любое значение х, допустимое областью определения, и подставляем его в уравнение функции. Результатом вычислений будет координата точки по оси ОУ.

Чтобы упростить процесс построения графика, можно провести вертикальную линию через вершину параболы и перпендикулярно оси ОХ. Это будет при помощи которой, имея одну точку, можно обозначить и вторую, равноудаленную от проведенной линии.

Построить функцию

Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.

Преимущества построения графиков онлайн

Визуальное отображение вводимых функций
Построение очень сложных графиков
Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
Управление масштабом, цветом линий
Возможность построения графиков по точкам, использование констант
Построение одновременно нескольких графиков функций
Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))

С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.

Фокус параболы - это точка, от которой равноудалены все точки, лежащие на параболе.
Директриса параболы - это прямая, от которой равноудалены все точки, лежащие на параболе.
Ось симметрии параболы - это вертикальная линия, проходящая через фокус и вершину параболы перпендикулярно ее директрисе.
Вершина параболы - точка пересечения параболы и оси симметрии. Если парабола направлена вверх, то вершина является самой низкой точкой параболы; если парабола направлена вниз, то вершина является самой верхней точкой параболы.

Уравнение параболы. Уравнение параболы имеет вид: y=ax 2 +bx+c . Уравнение параболы также можно записать в виде y = a(x – h)2 + k .

Если коэффициент «а» положительный, то парабола направлена вверх, а если коэффициент «а» отрицательный, то парабола направлена вниз. Для запоминания этого правила: при положительном (позитивном ) коэффициенте парабола «улыбается» (направлена вверх) и наоборот при отрицательном (негативном ) коэффициенте.
Например: y = 2x 2 -1 . Парабола этого уравнения направлена вверх, так как а = 2 (положительный коэффициент).
Если в уравнении в квадрат возводится «у», а не «х», то парабола «лежит на боку» и направлена вправо или влево. Например, парабола y 2 = x + 3 направлена вправо.

Найдите ось симметрии. Ось симметрии параболы - это вертикальная линия, проходящая через вершину параболы. Ось симметрии задается функцией х = n, где n – координата «х» вершины параболы. Для вычисления оси симметрии воспользуйтесь формулой x = -b/2a .

В нашем примере а = 2 , b = 0 . Подставьте эти значения в формулу: х = -0/(2 х 2) = 0 .
Ось симметрии х = 0.

Найдите вершину. Вычислив ось симметрии, вы нашли координату «х» вершины параболы. Подставьте найденное значение в исходное уравнение, чтобы найти «у». Эти две координаты и есть координаты вершины параболы. В нашем примере подставьте х = 0 в у = 2x 2 -1 и получите у = -1. Вершина параболы имеет координаты (0, -1). Более того, это точка пересечения параболы с осью Y (так как х = 0).

Иногда координаты вершины обозначаются как (h,k). В нашем примере h = 0, k = -1. Если квадратное уравнение дано в виде y = a(x – h)2 + k , то можно с легкостью найти координаты вершины непосредственно из уравнения (без вычислений).

Квадратичной функцией называется функция вида:
y=a*(x^2)+b*x+c,
где а - коэффициент при старшей степени неизвестной х,
b - коэффициент при неизвестной х,
а с - свободный член.
Графиком квадратичной функции является кривая, называемая параболой. Общий вид параболы представлен на рисунке ниже.

Рис.1 Общий вид параболы.

Есть несколько различных способов построения графика квадратичной функции. Мы рассмотрим основной и самый общий из них.

Алгоритм построения графика квадратичной функции y=a(x^2)+bx+c

1. Построить систему координат, отметить единичный отрезок и подписать координатные оси.

2. Определить направление ветвей параболы (вверх или вниз).
Для этого надо посмотреть на знак коэффициента a. Если плюс - то ветви направлены вверх, если минус - то ветви направлены вниз.

3. Определить координату х вершины параболы.
Для этого нужно использовать формулу Хвершины = -b/2*a.

4. Определить координату у вершины параболы.
Для этого подставить в уравнение Увершины = a*(x^2)+b*x+c вместо х, найденное в предыдущем шаге значение Хвершины.

5. Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси Оу.

6. Найти точки пересечения графика с осью Ох.
Для этого требуется решить квадратное уравнение a*(x^2)+b*x+c = 0 одним из известных способов. Если в уравнение не имеет вещественных корней, то график функции не пересекает ось Ох.

7. Найти координаты точки пересечения графика с осью Оу.
Для этого подставляем в уравнение значение х=0 и вычисляем значение у. Отмечаем эту и симметричную ей точку на графике.

8. Находим координаты произвольной точки А(х,у)
Для этого выбираем произвольное значение координаты х, и подставляем его в наше уравнение. Получаем значение у в этой точке. Нанести точку на график. А также отметить на графике точку, симметричную точке А(х,у).

9. Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график за крайние точки, до конца координатной оси. Подписать график либо на выноске, либо, если позволяет место, вдоль самого графика.

Пример построения графика

В качестве примера, построим график квадратичной функции заданной уравнением y=x^2+4*x-1
1. Рисуем координатные оси, подписываем их и отмечаем единичный отрезок.
2. Значения коэффициентов а=1, b=4, c= -1. Так как а=1, что больше нуля ветви параболы направлены вверх.
3. Определяем координату Х вершины параболы Хвершины = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Определяем координату У вершины параболы
Увершины = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Отмечаем вершину и проводим ось симметрии.
6. Находим точки пересечения графика квадратичной функции с осью Ох. Решаем квадратное уравнение x^2+4*x-1=0.
х1=-2-√3 х2 = -2+√3. Отмечаем полученные значения на графике.
7. Находим точки пересечения графика с осью Оу.
х=0; у=-1
8. Выбираем произвольную точку B. Пусть она имеет координату х=1.
Тогда у=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Соединяем полученные точки и подписываем график.

Построение графика квадратичной функции всегда было проблемой для многих школьников. Проблема в том, что на уроках в школе этому важнейшему материалу зачастую уделяют не достаточно внимания. В результате, когда появляется необходимость, ученику очень трудно отыскать в школьном учебнике или интернете чёткий алгоритм построения графика квадратичной функции (параболы) , а вместо этого приходится по крупицам выискивать необходимую информацию из множества различных источников. Решим эту проблему раз и навсегда! В данной статье представлен алгоритм построения параболы.

Квадратичной называется функция вида:

И — некоторые числа, при этом .

Алгоритм построения графика функции y=ax²+bx+c

Данный алгоритм продемонстрируем на примере построения графика квадратичной функции . В этом случае: , и .

1. Определим, куда направлены ветви соответствующей параболы. Если title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;">, то ветви параболы направлены вверх, если , то ветви параболы направлены вниз.

В нашем примере . Следовательно, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины параболы определяется по формуле:

Ордината вершины параболы определяется путем подстановки в уравнение квадратичной функции и вычисления соответствующего значения.

В нашем случае абсцисса вершины параболы равна:

Тогда ордината вершины параболы равна:

3. Определим еще несколько точек вблизи вершины, принадлежащих параболе. Удобнее всего оформить эти точки в виде таблицы.

В нашем случае получаем следующую таблицу значений:

	-2	-1	0	1	2	3
	-8	0	4	4	0	-8

4. Отметить полученные точки и вершину параболы на координатной плоскости и соединить их плавной линией. В результате получится требуемый график квадратичной функции.

В нашем случае получается следующая парабола:

Сергей Валерьевич