Формула симпсона перемножение эпюр – Определение перемещений. Метод О

Кроме рассмотренного выше аналитического метода определения перемещения балки, существуют другие аналитические и графоаналитические методы, применимые для более сложных систем, например, конструкций с ломаной осью и статически неопределимых систем.

Один из таких методов основан на интеграле Мора и правиле Верещагина. Сущность метода заключается в приложении в направлении интересующего нас перемещения единичной нагрузки (силы или момента силы) и вычислении интеграла Мора. Выражение для интеграла Мора выводится на основе теоремы Кастильяно, которая формулируется здесь без доказательства.

Теорема Кастильяно. Производная потенциальной энергии деформации по обобщенной силе рана обобщенному перемещению.

Потенциальная энергия деформации изогнутой балки выражается формулой

На основании теоремы Кастильяно обобщенное (линейное или угловое) перемещение Д определяется, как

Если обобщенную силу Q 06 приравнять к единице, то частная производная будет численно равна моменту М° единичной нагрузки

в сечении г балки (частные производные моментов других сил равны нулю, так как эти моменты от единичной нагрузки не зависят). В результате получается формула, называемая интегралом Мора.

Для отдельного участка конструкции интеграл Мора записывается в виде

где Д - обобщенное (линейное или угловое) перемещение; / - длина участка; М - уравнение моментов внешних сил; М° - уравнение моментов единичной нагрузки; ?7 - жесткость участка конструкции.

Для определения линейного перемещения к участку прикладывается единичная безразмерная сила, а для определения углового перемещения - единичный безразмерный момент. Для конструкции с постоянной жесткостью ее можно вынести за знак интеграла, тогда

В качестве примера вычислим интеграл Мора для балки, показанной на рис. 6.27

Рис. 6.27

Так как функции изгибающих моментов графически выражаются эпюрами моментов, то представляется возможным выразить интеграл Мора через площади и ординаты эпюр по правилу Верещагина , иначе называемому методом перемножения эпюр. Это правило формулируется так: искомый интеграл равен произведению площади грузовой эпюры М на расположенную под ее центром тяжести ординату единичной эпюры. Грузовой названа эпюра изгибающих моментов внешних сил.

Площади и ординаты эпюр берутся со знаками плюс или минус, а положительный результат означает, что направление искомого перемещения совпадает с направлением единичной нагрузки. Если рассматриваемая конструкция имеет несколько участков, то расчеты проводятся для каждого участка в отдельности, а результат суммируется.

В качестве примера определим по правилу Верещагина линейное перемещение и угол поворота концевого сечения балки, изображенной на рис. 6.24.

Для определения линейного перемещения свободного конца балки приложим к ее концу вертикальную единичную силу и рассмотрим грузовую эпюру и эпюру моментов единичной силы. Тогда

что совпадает с выражением для у в, полученным в Примере 6.8.

Для определения угла поворота концевого сечения балки приложим к ее концу единичный момент и построим эпюру. Тогда

Положительные ответы означают, что направления единичных нагрузок и перемещений совпадают. Тот же результат мы получим, если перемножим площадь единичной эпюры на ординату грузовой эпюры, расположенную над центром тяжести площади единичной эпюры.

Для раскрытия статической неопределимости системы следует отбросить одну из опор, заменить ее реакциями, приложить единичную нагрузку, а затем построить грузовую и единичную эпюры. Перемножив эпюры по правилу Верещагина и приравняв полученное перемещение к нулю, получим дополнительное уравнение, необходимое для раскрытия статической неопределимости системы.

Пример 6.11

Раскрыть статическую неопределимость двухопорной рамы квадратной формы со стороной /, показанной на рис. 6.28, а.

Решение. Отбросим опоры, заменив их реакциями Х ь Y u Х 2 , Y 2 . Составив уравнение моментов относительно опор и решая их, получим Y 2 -P , Y x = -Р . Уравнение проекции на горизонтальную ось Р-Х х +Х 2 = 0 имеет два неизвестных. Приложим к правому концу рамы единичную силу, как показано на рис. 6.28, д и построим эпюру единичных моментов. На рис. 6.28, виг построены грузовые эпюры изгибающих моментов. Перемножив по правилу

Рис. 6.28

Верещагина грузовые и единичную эпюры, получим дополнительное уравнение, необходимое для раскрытия статической неопределимости рамы.

Знак минус в третьем слагаемом возникает потому, что эпюры активной силы Р и единичной силы расположены по разные стороны от оси стержня.

Произведя вычисления, получим , откуда. Минус в ответе означает то, что реакция Х 2 направлена в противоположную сторону. Далее находим

В случаях, когда эпюра M z 1 (или M z ) ограничена прямыми линиями. По существу это прием графоаналитического вычисления определенного интеграла от произведения двух функций f (x ) и φ (x ), из которых одна, например φ (x ), линейная, т. е. имеет вид

Рассмотрим участок балки, в пределах которого эпюра изгибающих моментов от единичной нагрузки ограничена одной прямой линией M z 1 = kx + b , а изгибающий момент от заданной нагрузки изменяется по некоторому произвольному закону M z . Тогда в пределах этого участка

Второй интеграл представляет собой площадь ω эпюры M z на рассматриваемом участке, а первый - статический момент этой площади относительно оси y и поэтому равен произведению площадиω на координату ее центра тяжести x c . Таким образом,

.

Здесь kx c + b - ордината y c эпюры M z 1 под центром тяжести площади ω . Следовательно,

.

Произведение ω y c будет положительным, когда ω и y c расположены по одну сторону от оси эпюры, и отрицательным, если они находятся по разные стороны от этой оси.

Итак, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади ω одной эпюры на ординату y c второй (обязательно линейной) эпюры, взятой под центром тяжести площади ω .

Важно всегда помнить, что такое «перемножением» эпюр возможно лишь на участке, ограниченном одной прямой той эпюры, с которой берется ордината y c . Поэтому при вычислении перемещений сечений балок способом Верещагина интеграл Мора по всей длине балки надо заменить суммой интегралов по участкам, в пределах которых эпюра моментов от единичной нагрузки не имеет изломов. Тогда

.

Для успешного применения способа Верещагина необходимо иметь формулы, по которым могут быть вычислены площади ω и координаты x c их центров тяжести. Приведенные в табл. 8.1 данные отвечают только наиболее простым случаям нагружения балки. Однако более сложные эпюры изгибающих моментов допустимо разбивать на простейшие фигуры, площади ω i , и координаты y ci которых известны, а затем находить произведение ω y c для такой сложной эпюры суммированием произведений площадей ω i ее частей на соответствующие им координаты y ci . Объясняется это тем, что разложение множимой эпюры на части равносильно представлению функции M z (x ) в интеграле (8.46) в виде суммы интегралов. В некоторых случаях упрощает расчеты построение расслоенных эпюр, т. е. от каждой из внешних сил и пар в отдельности.

Если обе эпюры M z и M z 1 линейные, конечный результат их перемножения не зависит от того, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или, наоборот, площадь второй на ординату первой.

Для практического вычисления перемещений по способу Верещагина надо:

1) построить эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (основная эпюра);

3) построить эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузи (единичная эпюра);

4) разбить эпюры от заданных нагрузок на отдельные площади ω i и вычислить ординаты y Ci единичной эпюры под центрами тяжести этих площадей;

5) составить произведение ω i y Ci и просуммировать их.

Таблица 8.1.

Вид эпюры M z	Площадь ω	Координата центра тяжести x c
(*) - Эти формулы несправедливы для такого случая нагружения

Лекция 13 (продолжение). Примеры решения на вычисление перемещений методом Мора-Верещагина и задачи для самостоятельного решения

Определение перемещений в балках

Пример 1.

Определить перемещение точки К балки (см. рис.) при помощи интеграла Мора.

Решение.

1) Составляем уравнение изгибающего момента от внешней силы M F .

2) Прикладываем в точке К единичную силу F = 1.

3) Записываем уравнение изгибающего момента от единичной силы .

4) Определяем перемещения

Пример 2.

Определить перемещение точки К балки по способу Верещагина.

Решение.

1) Строим грузовую эпюру.

2) Прикладываем в точке К единичную силу.

3) Строим единичную эпюру.

4) Определяем прогиб

Пример 3.

Определить углы поворота на опорах А и В

Решение.

Строим эпюры от заданной нагрузки и от единичных моментов, приложенных в сечениях А и В (см. рис.). Искомые перемещения определяем с помощью интегралов Мора

,

, которые вычисляем по правилу Верещагина.

Находим параметры эпюр

C 1 = 2/3, C 2 = 1/3,

а затем и углы поворота на опорах А и В

Пример 4.

Определить угол поворота сечения С для заданной балки (см. рис.).

Решение.

Определяем опорные реакции R A =R B ,

, , R A = R B = qa .

Строим эпюры изгибающего момента от заданной нагрузки и от единичного момента, приложенного в сечении С , где ищется угол поворота. Интеграл Мора вычисляем по правилу Верещагина. Находим параметры эпюр

C 2 = -C 1 = -1/4,

а по ним и искомое перемещение

Пример 5.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

Решение.

Эпюра M F (рис. б)

Опорные реакции:

ВЕ : , ,

, R B + R E = F , R E = 0;

АВ : , R А = R В = F ; , .

Вычисляем моменты в характерных точках , M B = 0, M C = Fa и строим эпюру изгибающего момента от заданной нагрузки.

Эпюра (рис. в).

В сечении С , где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента, вычисляя сначала опорные реакции ВЕ - , , = 2/3; , , = 1/3, а затем моменты в характерных точках , , .

2. Определение искомого прогиба. Воспользуемся правилом Верещагина и вычислим предварительно параметры эпюр и :

,

Прогиб сечения С

Пример 6.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

Решение.

С. Пользуясь правилом Верещагина, вычисляем параметры эпюр ,

и находим искомый прогиб

Пример 7.

Определить прогиб в сечении С для заданной балки (см. рис.).

Решение.

1. Построение эпюр изгибающих моментов.

Опорные реакции:

, , R A = 2qa ,

, R A + R D = 3qa , R D = qa .

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в точке С .

2. Определение перемещений. Для вычисления интеграла Мора воспользуемся формулой Симпсона, последовательно применяя ее к каждому из трех участков, на которые разбивается балка.

Участок АВ :

Участок ВС :

Участок С D :

Искомое перемещение

Пример 8.

Определить прогиб сечения А и угол поворота сечения Е для заданной балки (рис. а ).

Решение.

1. Построение эпюр изгибающих моментов.

Эпюра М F (рис. в ). Определив опорные реакции

, , R B = 19qa /8,

, R D = 13qa /8, строим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М F от заданной нагрузки.

Эпюра (рис. д). В сечении А , где ищется прогиб, прикладываем единичную силу и строим от нее эпюру изгибающего момента.

Эпюра (рис. е). Эта эпюра строится от единичного момента, приложенного в сечении Е , где ищется угол поворота.

2. Определение перемещений. Прогиб сечения А находим, пользуясь правилом Верещагина. Эпюру М F на участках ВС и CD разбиваем на простые части (рис. г). Необходимые вычисления представляем в виде таблицы.

	-qa 3 /6	2qa 3 /3	-qa 3 /2				-qa 3 /2
C i
		-qa 4 /2	5qa 4 /12	-qa 4 /6	-qa 4 /12			-qa 4 /24

Получаем .

Знак “минус” в результате означает, что точка А перемещается не вниз, как была направлена единичная сила, а вверх.

Угол поворота сечения Е находим двумя способами: по правилу Верещагина и по формуле Симпсона.

По правилу Верещагина, перемножая эпюры M F и , по аналогии с предыдущим получим

,

Для нахождения угла поворота по формуле Симпсона вычислим предварительно изгибающие моменты посредине участков:

Искомое перемещение, увеличенное в EI x раз,

Пример 9.

Определить, при каком значении коэффициента k прогиб сечения С будет равен нулю. При найденном значении k построить эпюру изгибающего момента и изобразить примерный вид упругой линии балки (см. рис.).

Решение.

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и от единичной силы, приложенной в сечении С , где ищется прогиб.

По условию задачи V C = 0. С другой стороны, . Интеграл на участке АВ вычисляем по формуле Симпсона, а на участке ВС – по правилу Верещагина.

Находим предварительно

Перемещение сечения С ,

Отсюда , .

При найденном значении k определяем значение опорной реакции в точке А : , , , исходя из которого находим положение точки экстремума на эпюре М согласно условию .

По значениям момента в характерных точках

строим эпюру изгибающего момента (рис. г).

Пример 10.

В консольной балки, изображенной на рисунке.

Решение.

М от действия внешней сосредоточенной силы F : М В = 0, М А = –F 2l (эпюра линейная).

По условию задачи требуется определить вертикальное перемещение у В точки В консольной балки, поэтому строим единичную эпюру от действия вертикальной единичной силы F i = 1, приложенной в точке В .

Учитывая, что консольная балка состоит из двух участков с разной жесткостью на изгиб, эпюры и М перемножаем с помощью правила Верещагина по участкам отдельно. Эпюры М ипервого участка перемножаем по формуле , а эпюры второго участка – как площадь эпюры М второго участка Fl 2 / 2 на ординату 2l /3 эпюры второго участка под центром тяжести треугольной эпюры М этого же участка.

В этом случае формула дает:

Пример 11.

Определить вертикальное перемещение точки В однопролетной балки, изображенной на рисунке. Балка имеет постоянную по всей длине жесткость на изгиб EI .

Решение.

Строим эпюру изгибающих моментов М от действия внешней распределенной нагрузки: М А = 0; M D = 0;

Прикладываем в точке В единичную вертикальную силу F i = 1 и строим эпюру (см. рис.):

откуда R a = 2/3;

Откуда R d = 1/3, поэтому M a = 0; M d = 0; .

Разделим рассматриваемую балку на 3 участка. Перемножение эпюр 1-го и 3-го участков не вызывает трудностей, так как перемножаем треугольные эпюры. Для того чтобы применить правило Верещагина ко 2-му участку, разобьем эпюру М 2-го участка на две составляющие эпюры: прямоугольную и параболическую с площадью (см. таблицу).

Центр тяжести параболической части эпюры М лежит посередине 2-го участка.

Таким образом, формула при использовании правила Верещагина дает:

Пример 12.

Определить максимальный прогиб в двухопорной балке, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой интенсивности q (см. рис.).

Решение.

Находим изгибающие моменты:

От заданной нагрузки

От единичной силы, приложенной в точке С , где ищется прогиб .

Вычисляем искомый наибольший прогиб, который возникает в среднем сечении балки

Пример 13.

Определить прогиб в точке В балки, показанной на рисунке.

Решение.

Строим эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки и единичной силы, приложенной в точке В. Чтобы перемножить эти эпюры, надо балку разбить на три участка, так как единичная эпюра ограничена тремя различными прямыми.

Операция перемножения эпюр на втором и третьем участках осуществляется просто. Затруднения возникают при вычислении площади и координат центра тяжести основной эпюры на первом участке. В таких случаях намного упрощает решение задачи построение расслоенных эпюр. При этом удобно одно из сечений принять условно за неподвижное и строить эпюры от каждой из нагрузок, приближаясь справа и слева к этому сечению. Целесообразно за неподвижное принимать сечение в месте перелома на эпюре единичных нагрузок.

Расслоенная эпюра, в которой за неподвижное принято сечение В , представлена на рисунке. Вычислив площади составных частей расслоенной эпюры и соответствующие им ординаты единичной эпюры, получаем

Пример 14.

Определить перемещения в точках 1 и 2 балки (рис. а).

Решение.

Приведем эпюры М и Q для балки при а =2 м; q =10 кН/м; С =1,5а ; М =0,5qa 2 ; Р =0,8qa ; М 0 =М ; =200 МПа (рис. б и в ).

Определим вертикальное перемещение центра сечения, где приложен сосредоточенный момент. Для этого рассмотрим балку в состоянии под действием только сосредоточенной силы приложенной в точке 1 перпендикулярно оси балки (по направлению искомого перемещения ) (рис. г).

Вычислим опорные реакции, составив три уравнения равновесия

Проверка

Реакции найдены верно.

Для построения эпюры рассмотрим три участка (рис. г).

1 участок

2 участок

3 участок

По этим данным строим эпюру (рис. д) со стороны растянутых волокон.

Определим по формуле Мора с помощью правила Верещагина. При этом криволинейную эпюру , на участке между опорами, можно представить в виде сложения трех эпюр. Стрелка

Знак «минус» означает, что точка 1 перемещается вверх (в направлении противоположном ).

Определим вертикальное перемещение точки 2, где приложена сосредоточенная сила. Для этого рассмотрим балку в состоянии под действием только сосредоточенной силы приложенной в точке 2 перпендикулярно оси балки (по направлению искомого перемещения ) (рис. е).

Эпюра строится аналогично предыдущей.

Точка 2 перемещается вверх.

Определим угол поворота сечения, где приложен сосредоточенный момент.

Определение перемещений в системах, состоящих из прямоли­нейных элементов постоянной жесткости, можно значительно упростить путем применения специального приема вычисления

интеграла вида

В связи с тем что в подын­тегральное выражение входит произведение уси­лий Мт и Мп, являющих­ся ординатами эпюр, пост­роенных для единичного и действительного состояний, этот прием называют спо­собом перемножения эпюр. Его можно использовать в -случае, когда одна из пе­ремножаемых эпюр, нап­ример Мт, прямолинейна; в этом случае (рис. 5.17)

Мm = (х + a) tg а.

Вторая эпюра М п может иметь любое очертание (прямолинейное, ломаное

или криволинейное).

Подставим значение М m в выражение

где М п dx= dΩ n - дифференциал площади Ω n эпюры М n (рис. 5.17),

Интеграл представляет собой статический момент площади Ω n эпюры М п относительно оси 0-0" (рис. 5.17). Этот статический момент можно выразить иначе:

где хс-абсцисса центра тяжести площади эпюры Мn. Тогда

Но так как (см. рис. 5.17)

(5.26)

Таким образом, результат перемножения двух эпюр равен про­изведению площади одной из них на ординату ус другой (прямоли­нейной) эпюры, взятую под центром тяжести площади первой эпюры.

Способ перемножения эпюр предложен в 1925 г. студентом Мос­ковского института инженеров железнодорожного транспорта А. К. Верещагиным, а потому он называется правилом (или спосо­бом) Верещагина,

Заметим, что левая часть выражения (5.26) отличается от ин­теграла Мора отсутствием в ней жесткости сечения EJ. Следова­тельно, результат выполнения по правилу Верещагина перемноже­ния эпюр для определения искомого перемещения надо разделить на жесткость.

Очень важно отметить, что ордината ус должна быть взята обя­зательно из прямолинейной эпюры. Если обе эпюры прямолиней­ны, то ординату можно взять из любой эпюры. Так, если требуется перемножить прямолинейные эпюры Mi а Мк (рис. 518, а), то не имеет значения, что взять: произведение yk площади эпюры Mi на ординату yk под ее центром тяжести из эпюры Мк или про­изведение Ω_k yi площади эпюры М k на ординату уi под (или над) ее центром тяжести из эпюры Мг.

Когда перемножаются две эпюры, имеющие вид трапеции, то не надо находить положение центра тяжести площади одной из них. Следует одну из эпюр разбить на два треугольника и умножить площадь каждого из них на ординату под его центром тяжести из другой эпюры. Например, в случае, приведенном на рис. 518, б, получим

В круглых скобках этой формулы произведение ас левых орди­нат обеих эпюр и произведение bd правых ординат берутся с коэф­фициентом, равным двум» а произведения ad и bc ординат, расположенных с разных сторон,- с коэффициентом, равным единице.

С помощью формулы (5.27) можно перемножать эпюры, имеющие вид «перекрученных» трапеций; при этом произведения ординат, имеющих одинаковые знаки, берутся со знаком плюс, а разные - -минус. В случае, например, показанном на рис. 5.18,в, результат перемножения эпюр в виде «перекрученной» и обычной трапеций равен (l/6) (2ac-2bd+ad-bc), а в случае, показанном на рис. 5.18, г, равен (l/6) (-2ac-2bd+ad+bc).

Формула (5.27) применима и тогда, когда одна или обе перемно­жаемые эпюры имеют вид треугольника. В этих случаях треуголь­ник рассматривается как трапеция с одной крайней ординатой, равной нулю. Результат, например, перемножения эпюр, показан­ных на рис. 5.18, д, равен (l/6) (2ac+ad).

Умножение эпюры в виде «перекрученной» трапеции на любую другую эпюру можно производить и расчленяя «перекрученную» трапецию на два треугольника, как показано на рис. 5.18, е.

Лекция № 6. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем: балок, рам, ферм.

План лекции:

1. Метод сил.

1.1. Основная система. Основные неизвестные.

1.2. Система канонических уравнений метода сил для расчета на действие внешней нагрузки.

1.3. Расчет статически неопределимых систем методом сил.

2. Метод перемещений.

2.1. Выбор неизвестных и определение их числа.

2.2. Определение числа неизвестных

2.3. Основная система

2.4. Канонические уравнения

3. Основы расчета систем методом конечных элементов.

В общем случае (стержень переменного сечения, сложная система нагрузок) интеграл Мора определяется путем численного интегрирования. Во многих практически важных случаях, когда жесткость сечения постоянна по длине стержня, интеграл Мора может быть вычислен по правилу Верещагина. Рассмотрим определение интеграла Мора на участке от а до 6 (рис. 9.18).

Рис. 9.18. Правило Верещагина для вычисления интеграла Мора

Эпюры момента от единичного силового фактора состоят из отрезков прямых. Не нарушая общности, предположим, что в пределах участка

где А и В - параметры прямой:

Интеграл Мора на рассматриваемом участке постоянного сечения имеет вид

где F - площадь под кривой (площадь эпюры изгибающих моментов от внешних сил на участке z).

где - абсцисса центра тяжести площади .

Равенство (109) справедливо, когда в пределах участка не изменяет знак и может рассматриваться как элемент площади эпюры. Теперь из соотношений (107) -(109) получаем

Момент от единичной нагрузки в сечении

Вспомогательная таблица для использования правила Верещагина дана на рис. 9.19.

Замечания. 1. Если эпюра от действия внешних сил на участке линейна (например, при действии сосредоточенных сил и моментов), то правило можно применять в обращенном виде: площадь эпюры от единичного силового фактора умножить на ординату эпюры соответствующую центру тяжести площади . Это вытекает из приведенного доказательства.

2. Правило Верещагина может быть распространено на интеграл Мора в общем виде (уравнение (103)).

Рис. 9.19. Площади и положение центров тяжести эпюр моментов

Рис. 9.20. Примеры определения прогиба и углов поворота по правилу Верещагина

Основное требование при этом состоит в следующем: в пределах участка внутренние силовые факторы от единичной нагрузки должны быть линейными функциями вдоль оси стержня (линейность эпюр!).

Примеры. 1. Определить прогиб в точке А консольного стержня при действии сосредоточенного момента М (рис. 9.20, а).

Прогиб в точке А определяем по формуле (для краткости индекс опускается)

Знак минус связан с тем, что имеют разные знаки.

2. Определить прогиб в точке А в консольном стержне под действием распределенной нагрузки.

Прогиб определяем по формуле

Эпюры изгибающего момента М и перерезывающей силы Q от внешней нагрузки показаны на рис. 9.20, б, ниже на этом рисунке приведены эпюры при действии единичной силы. Далее находим

3. Определить прогиб в точке А и угол поворота в точке В для двухопорной балки, загруженной сосредоточенным моментом (рис. 9.20.).

Прогиб определяем по формуле (деформацией сдвига пренебрегаем)

Так как эпюра момента от единичной силы не изображается одной линией; то интеграл разбиваем на два участка:

Угол поворота в точке В равен

Замечание. Из приведенных примеров видно, что способ Верещагина в простых случаях позволяет быстро определить прогибы и углы поворота. Важно только применять единое правило знаков для Если условиться при изгибе стержня строить эпюры изгибающих моментов на «растянутом волокне» (см. рис. 9.20), то сразу легко видеть положительные и отрицательные значения моментов.

Особое преимущество правила Верещагина состоит в том, что оно может быть исполъвовано не только для стержней, но и для рам (разд. 17).

Ограничения для применения правила Верещагина.

Эти ограничения вытекают из вывода формулы (110), но обратим на них внимание еще раз.

1. Эпюра изгибающего момента от единичной нагрузки должна быть в виде одной прямой линии. На рис. 9.21, а показан случай, когда это условие не соблюдается. Интеграл Мора необходимо вычислять отдельно для участков I и II.

2. Изгибающий момент от внешней нагрузки в пределах участка должен иметь один знак. На рис. 9.21, б показан случай, когда правило Верещагина следует применять для каждого участка в отдельности. Это ограничение не относится к моменту от единичной нагрузки.

Рис. 9.21. Ограничения при использовании правила Верещагина: а - эпюра шсеет излом; б - эпюра имеет разные знаки; в - стержень имеет разные сечения

3. Жесткость стержня в пределах участка должна быть постоянна, иначе интегрирование следует распространять отдельно на участки с постоянной жесткостью. Ограничения по постоянной жесткости можно избежать, если строить эпюры .