Как найти стороны прямоугольного треугольника? Основы геометрии. Решение прямоугольного треугольника Как найти катеты прямоугольного треугольника зная гипотенузу

При помощи калькулятора извлеките квадратный корень из разности гипотенузы в квадрате и известного катета, также возведенного в квадрат. Катетом называют прилежащую к прямому углу сторону прямоугольного треугольника. Это выражение получается из теоремы Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов катетов.

Прежде чем мы рассмотрим различные способы нахождения катета в прямоугольном треугольнике, примем некоторые обозначения. Проверьте, какому из перечисленных случаев соответствует условие вашей задачи и в зависимости от этого руководствуйтесь соответствующим пунктом. Выясните, какие величины в рассматриваемом треугольнике вам известны. Воспользуйтесь для вычисления катета следующим выражением: a=sqrt(c^2-b^2), в том случае, если вам известны величины гипотенузы и другого катета.

Соотношения между сторонами и углами этой геометрической фигуры подробно рассматриваются в математической дисциплине тригонометрии. Чтобы применить это уравнение, нужно знать длину любых двух сторон прямоугольного треугольника.

Вычислите длину одного из катетов, если известны размеры гипотенузы и другого катета. Если в задаче заданы гипотенуза и один из прилежащих к ней острых углов, используйте таблицы Брадиса.

Внутренний треугольник будет подобен внешнему, так как средние линии параллельны катетам и гипотенузе, и равны соответственно их половинам. Поскольку гипотенуза неизвестна, для нахождения средней линии M_c нужно подставить радикал из теоремы Пифагора.

Гипотенуза – это самая длинная сторона прямоугольного треугольника. Она лежит напротив прямого угла. Длина гипотенузы может быть найдена различными способами. Если известна длина обоих катетов, то ее размер вычисляется по теореме Пифагора: сумма квадратов двух катетов равняется квадрату гипотенузы. Зная, что сумма всех углов составляет 180°, вычитаем прямой угол и уже известный.

При расчете параметров прямоугольного треугольника важно обращать внимание на известные значения и решать задачу по самой простой формуле. Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник - это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета.

Формула: c²=a²+b², где c - гипотенуза, a и b - катеты

Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Синус угла (sin) - это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а - катет, лежащий против данного угла, а с - гипотенуза.

Необычные свойства прямоугольных треугольников были открыты древнегреческим ученым Пифагором, который обнаружил, что квадрат гипотенузу в таких треугольниках равен сумме квадратов катетов

Высота- перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом). Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр. Если это произвольный прямоугольный треугольник, то тогда не хватает данных.

Также, полезно знать значения тригонометрических функций для наиболее типичных углов 30, 45, 60, 90, 180 градусов. Если по условиям заданы размеры катетов, отыщите длину гипотенузы. В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания.

Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c

Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты. Интересен частный случай, когда один из острых углов равен 30 градусам.

Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно

Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Найдите сторону прямоугольного треугольника с помощью теоремы Пифагора. Также стороны прямоугольного треугольника можно найти по различным формулам в зависимости от количества известных переменных.

Прямоугольный треугольник содержит в себе огромное множество зависимостей. Это делает его привлекательным объектом для разного рода геометрических задач. Одной из наиболее часто встречающихся задач считается нахождение гипотенузы.

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – это треугольник, который содержит в себе прямой угол, т.е. угол в 90 градусов. Только в прямоугольном треугольнике можно выразить тригонометрические функции через величины сторон. В произвольном треугольнике придется производить дополнительные построения.
В прямоугольном треугольнике две из трех высот совпадают со сторонами зовутся катетами. Третья сторона зовется гипотенузой. Высота, проведенная к гипотенузе единственная в этом виде треугольника, требующая дополнительных построений.

Рис. 1. Виды треугольников.

В прямоугольном треугольнике не может быть тупых углов. Так же, как невозможно и существование второго прямого угла. В этом случае нарушается тождество суммы углов треугольника, которая всегда равна 180 градусам.

Гипотенуза

Перейдем непосредственно к гипотенузе треугольника. Гипотенуза – это наибольшая сторона треугольника. Гипотенуза всегда больше любого из катетов, но при этом всегда меньше суммы катетов. Это следствие из теоремы неравенства треугольника.

Теорема гласит: в треугольнике ни одна из сторон не может больше суммы двух других. Существует и вторая формулировка или вторая часть теоремы: в треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол и наоборот.

Рис. 2. Прямоугольный треугольник.

В прямоугольном треугольнике большим углом является прямой угол, так как второго прямого угла или тупого угла быть не может по уже названным причинам. Значит напротив прямого угла всегда лежит большая сторона.

Кажется непонятным, почему именно прямоугольный треугольник заслужил отдельное наименование каждой из сторон. На самом деле, в равнобедренном треугольнике стороны так же носят свои названия: боковые стороны и основание. Но именно за катеты и гипотенузы учителя особенно любят ставить двойки. Почему? С одной стороны это дань памяти древним грекам, изобретателям математики. Именно они изучали прямоугольные треугольники и наряду с этими знаниями оставили целый пласт информации, на котором строится современная наука. С другой же стороны существование этих названий значительно упрощает формулировки теорем и тригонометрических тождеств.

Теорема Пифагора

Если учитель спрашивает о формуле гипотенузы прямоугольного треугольника, значит, с вероятностью 90 %, он имеет в виду теорему Пифагора. Теорема гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен суммы квадратов катетов.

Рис. 3. Гипотенуза прямоугольного треугольника.

Обратите внимание, как четко и емко формулируется теорема. Подобной простоты невозможно достигнуть без использования понятий гипотенузы и катета.

Теорема имеет следующую формулу:

$c^2=b^2+a^2$ – где с - гипотенуза, a и b - катеты прямоугольного треугольника.

Что мы узнали?

Мы поговорили о том, что такое прямоугольный треугольник. Узнали, зачем вообще придумали названия катетов и гипотенузы. Выяснили некоторые свойства гипотенузы и привели формулу длины гипотенузы треугольника через теорему Пифагора.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.6 . Всего получено оценок: 213.

Инструкция

Углы, противолежащие катетам a и b обозначим соответственно через A и B. Гипотенуза, по определению, это сторона прямоугольного треугольника, которая противоположна прямому углу (при этом с другими сторонами треугольника гипотенуза образует острые углы). Длину гипотенузы обозначим через с.

Вам понадобится:
Калькулятор.

Воспользуйтесь для катета следующим выражением: a=sqrt(c^2-b^2), в том случае, если вам известны величины гипотенузы и другого катета. Это выражение получается из теоремы Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы треугольника равен сумме квадратов катетов. Оператор sqrt обозначает извлечение квадратного корня. Знак "^2" означает возведение во вторую степень.

Используйте формулу a=c*sinA, если вам известна гипотенуза (c) и угол, противолежащий искомому катету (этот угол мы обозначили, как A).
Выражение a=c*cosB используйте для нахождения катета, если вам известна гипотенуза (c) и угол, прилежащий искомому катету (этот угол мы обозначили как B).
Вычислите катет по формуле a=b*tgA в случае, когда задан катет b и угол, противолежащий искомому катету (этот угол мы условились обозначать A).

Обратите внимание:
Если же в вашей задаче катет не находится ни одним из описанных способов, скорее всего, её можно свести к какому-то из них.

Полезные советы:
Все эти выражения получаются из общеизвестных определений тригонометрических функций, поэтому, даже если вы забыли какое-то из них, вы всегда сможете путём несложных операций его быстро вывести. Также, полезно знать значения тригонометрических функций для наиболее типичных углов 30, 45, 60, 90, 180 градусов.

В жизни нам часто придется сталкиваться с математическими задачами: в школе, в университете, а затем помогая своему ребенку с выполнением домашнего задания. Люди определенных профессий будут сталкиваться с математикой ежедневно. Поэтому полезно запоминать или вспоминать математические правила. В этой статье мы разберем одно из них: нахождение катета прямоугольного треугольника.

Что такое прямоугольный треугольник

Для начала вспомним, что такое прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник – это геометрическая фигура из трех отрезков, которые соединяют точки, не лежащие на одной прямой, и один из углов этой фигуры равен 90 градусам. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, которая лежит напротив прямого угла – гипотенузой.

Находим катет прямоугольного треугольника

Существует несколько способов, позволяющих узнать длину катета. Хотелось бы рассмотреть бы их подробнее.

Теорема Пифагора, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Если нам известны гипотенуза и катет, то мы можем найти длину неизвестного катета по теореме Пифагора. Звучит она так: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Формула: c²=a²+b², где c – гипотенуза, a и b – катеты. Преобразовываем формулу и получаем: a²=c²-b².

Пример. Гипотенуза равна 5 см, а катет – 3 см. Преобразовываем формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далее решаем: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (см).

Тригонометрические соотношения, чтобы найти катет прямоугольного треугольника

Также можно найти неизвестный катет, если известны любая другая сторона и любой острый угол прямоугольного треугольника. Есть четыре варианта нахождения катета при помощи тригонометрических функций: по синусу, косинусу, тангенсу, котангенсу. Для решения задач нам поможет таблица, которая находится чуть ниже. Рассмотрим эти варианты.

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи синуса

Синус угла (sin) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Формула: sin=a/c, где а – катет, лежащий против данного угла, а с – гипотенуза. Далее преобразуем формулу и получаем: a=sin*c.

Пример. Гипотенуза равна 10 см, угол А равен 30 градусов. По таблице вычисляем синус угла А, он равен 1/2. Затем по преобразованной формуле решаем: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи косинуса

Косинус угла (cos) – это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Формула: cos=b/c, где b – катет, прилежащий к данному углу, а с – гипотенуза. Преобразуем формулу и получим: b=cos*c.

Пример. Угол А равен 60 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем косинус угла А, он равен 1/2. Далее решаем: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи тангенса

Тангенс угла (tg) – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Формула: tg=a/b, где а – противолежащий к углу катет, а b – прилежащий. Преобразуем формулу и получаем: a=tg*b.

Пример. Угол А равен 45 градусов, гипотенуза равна 10 см. По таблице вычисляем тангенс угла А, он равен Решаем: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (см).

Найти катет прямоугольного треугольника при помощи котангенса

Котангенс угла (ctg) – это отношение прилежащего катета к противолежащему. Формула: ctg=b/a, где b – прилежащий к углу катет, а – противолежащий. Иначе говоря, котангенс – это “перевернутый тангенс”. Получаем: b=ctg*a.

Пример. Угол А равен 30 градусов, противолежащий катет равен 5 см. По таблице тангенс угла А равен √3. Вычисляем: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).

Итак, теперь вы знаете, как находить катет в прямоугольном треугольнике. Как видите, это не так уж и сложно, главное – запомнить формулы.

Среди многочисленных расчетов, производимых для вычисления тех или иных величин различных есть нахождение гипотенузы треугольника. Напомним, что треугольником называется многогранник, имеющий три угла. Ниже будут приведены несколько способов расчета гипотенузы различных треугольников.

Первоначально посмотрим, как найти гипотенузу прямоугольного треугольника. Для тех, кто подзабыл, прямоугольным называется треугольник, имеющий угол 90 градусов. Сторона треугольника, расположенная на противоположной стороне прямого угла, называется гипотенузой. К тому же, она является наиболее длинной стороной треугольника. В зависимости от известных величин длина гипотенузы рассчитывается следующим образом:

• Известны длины катетов. Гипотенуза в этом случае исчисляется, используя теорему Пифагора, которая звучит следующим образом: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Если рассмотреть прямоугольный треугольник BKF, где BK и KF катеты, а FB - гипотенуза, то FB2= BK2+ KF2. Из вышесказанного следует, что при расчете длины гипотенузы нужно возвести поочередно в квадрат каждую из величин катетов. Затем сложить поученные цифры и из результата извлечь квадратный корень.

Рассмотрим пример: Дан треугольник с прямым углом. Один катет равен 3 см, другой 4см. Найти гипотенузу. Решение выглядит следующим образом.

FB2= BK2+ KF2= (3см)2+(4см)2= 9см2+16см2=25 см2. Извлекаем и получаем FB=5см.

• Известен катет (BK) и угол, прилежащий к нему, который образуется гипотенузой и этим катетом. Как найти гипотенузу треугольника? Обозначим известный угол α. Согласно свойству которое гласит, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется косинусу угла между этим катетом и гипотенузой. Рассматривая треугольник это можно записать так: FB= BK*cos(α).
• Известен катет (KF) и тот же угол α, только теперь он уже будет противолежащим. Как найти гипотенузу в этом случае? Обратимся все к тем же свойствам прямоугольного треугольника и узнаем, что отношение длины катета к длине гипотенузы равняется синусу противолежащего катету угла. То есть FB= KF * sin (α).

Рассмотрим на примере. Дан все тот же прямоугольный треугольник BKF с гипотенузой FB. Пусть угол F равен 30 градусам, второй угол B соответствует 60 градусам. Еще известен катет BK, длина которого соответствует 8 см. Вычислить искомую величину можно так:

FB = BK /cos60 = 8 см.
FB = BK /sin30 = 8 см.

• Известен (R), описанной около треугольника с прямым углом. Как найти гипотенузу при рассмотрении такой задачи? Из свойства окружности, описанной вокруг треугольника с прямым углом известно, что центр такой окружности совпадает с точкой гипотенузы, разделяющей ее пополам. Простыми словами - радиус соответствует половине гипотенузы. Отсюда гипотенуза равна двум радиусам. FB=2*R. Если же дана аналогичная задача, в которой известен не радиус, а медиана, то следует обратить внимание на свойство окружности, описанной вокруг треугольника с прямым углом, которое говорит, что радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе. Используя все эти свойства, задача решается таким же способом.

Если стоит вопрос, как найти гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, то необходимо обратится все к той же теореме Пифагора. Но, в первую очередь вспомним, что равнобедренным треугольником, является треугольник, имеющий две одинаковые стороны. В случае с прямоугольным треугольником одинаковыми сторонами являются катеты. Имеем FB2= BK2+ KF2, но, так как BK= KF имеем следующее: FB2=2 BK2, FB= BK√2

Как видите, зная теорему Пифагора и свойства прямоугольного треугольника, решить задачи, при которых необходимо вычислить длину гипотенузы, очень просто. Если же все свойства запомнить сложно, выучите готовые формулы, подставив в которые известные значения можно будет рассчитать искомую длину гипотенузы.