Раздел программы: “Формализация и моделирование”.

Тема урока: “Моделирование движения”.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Вид урока: комбинированный.

Технология: личностно-ориентированная.

Время проведения: второй урок по теме “Моделирование графических объектов”.

Цели урока:

• развитие представлений о моделировании как методе познания;
• формирование системно-информационного подхода к анализу окружающего мира;
• формирование общеучебных и общенаучных навыков работы с информацией.

Задачи урока:

• Воспитательная – развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры, воспитание умения четко организовать самостоятельную работу.
• Учебная – изучить и закрепить прием моделирования динамических объектов.
• Развивающая – развитие системно-конструктивного мышления, расширение кругозора.

Методы: словесные, наглядные, практические.

Организационные формы работы: фронтальные, индивидуальные.

Материально-техническая база:

• презентация “Моделирование движение”;
• комплекс: демонстрационный экран и компьютер с ОС Windows-9x с установленным MS Office 2000;
• компьютеры с программной средой Turbo Pascal 7.0.

Межпредметная связь : математика.

1. Подготовка к уроку

Для урока подготовлена презентация с помощью Power Point с целью визуализации информации по ходу объяснения нового материала. (Приложение1.ppt)

План урока:

Содержание этапа урока	Вид и формы работы
1. Организационный момент	Приветствие
2. Мотивационное начало урока	Постановка цели урока. Фронтальный опрос
3. Изучение нового материала	Использование слайдов, работа в тетради
4. Этап закрепления, проверки полученных знаний	Практическая работа: компьютерный эксперимент по проверке программы
5. Этап систематизации, обобщения изученного	Самостоятельная работа за компьютером: компьютерный эксперимент по исследованию модели. Работа в тетради
6. Подведение итогов, домашнее задание	Работа в тетради

Ход урока

2. Организационный момент

3. Мотивационное начало урока. Постановка цели урока

Учитель: На прошлом занятии мы строили статичное изображение.

Вопрос: Какая модель называется статической? Какая модель называется динамической?

Ответ: Модель, описывающая состояние объекта, называется статической. Модель, описывающая поведение объекта, называется динамической.

Учитель: Сегодня продолжим тему построение изображений, но уже в динамике, т.е. объект будет изменять свое положение на плоскости во времени. Начну с демонстрации имеющейся у меня копилки программ, которые хорошо иллюстрируют тему сегодняшнего урока. (Начинается показ через запуск программ на ЯП Паскаль “Хаотичное движение” , “Полет в космосе” , “Движение колеса” (Приложение2.pas, Приложение3.pas, Приложение4.pas). Изучение модели движения мы и посвятим сегодняшний урок.

В классе на экране тема урока “Моделирование движения”.

Запишите тему сегодняшнего урока.

Учитель: Условие задачи зафиксируйте в тетради.

Для решения задачи смоделируем процесс движения сначала через описательную модель, затем формализованную и, наконец, компьютерную, чтоб можно было реализовать модель на компьютере.

Для начала давайте обсудим вопрос, что значит создать анимацию (иллюзию движения какого-либо объекта)?

Обсуждение. Заслушивание всех вариантов ответов, вплоть до невозможных.

Предполагаемый ответ: Если это как в мультипликации, то, наверное, это должно быть в виде набора статичных изображений сменяющих друг друга через какое-то время.

Учитель: Хорошо.

4. Изучение нового материала

Словесную описательную модель нашей задачи можно сформулировать так:

Учитель вслух комментирует описательную модель, просит учащихся зафиксировать ее в тетради.

Учитель: Перейдем к формализованной модели, и раз это изображение, то воспользуемся системой координат компьютера и схематично изобразим, как это должно выглядеть.

Учащиеся фиксируют эту модель в тетрадь.

Учитель: А вот как это будет выглядеть на экране (слайд выполнен с анимацией, круг проделывает движение слева на право).

Учащиеся наблюдают.

Учитель: Запишем словесный алгоритм реализации нашей модели. Ясно, что для повторения многократного изображений круга каждый раз в новой точке экрана понадобится цикл.

Вопрос: Какой цикл лучше использовать?

Ответ: For-To-Do.

Вопрос: Какая процедура поможет нам нарисовать круг белого цвета? Черного цвета?

Ответ: SetColor(15) и Circle(X,Y,R), затем SetColor(0) и Circle(X, Y, R).

Вопрос: Как осуществить задержку времени на пример на 100 м/сек?

Ответ: Delay(100).

Учитель: Правильно.

Демонстрируем слайды с 8 по 10. Учащиеся сверяют свои ответы с правильными.

Учитель: А теперь запишите всю программу целиком у себя в тетради.

Выдерживаем паузу 5–7 минут. Затем даем возможность свериться с образцом.

Включить эффекты

1 из 9

Отключить эффекты

Смотреть похожие

Код для вставки

ВКонтакте

Одноклассники

Телеграм

Рецензии

Добавить свою рецензию

Зарегистрируйтесь , чтобы добавить рецензию.

Аннотация к презентации

Презентация на тему "Моделирование движения в среде Логомиры" описывает принцип действия программы для моделирования Лого Мира. Благодаря ей учащиеся смогут узнать понятие моделирования и понять принцип его действия на практике, научатся понимать и правильно пользоваться назначением команд исполнителя, и самое главное смогут моделировать на компьютере простые движения. Эта презентация поможет им создавать свои анимированные изображения, мультипликацию, а также станет первым шагом для создания полноценных изображений в сфере компьютерной графики.

1. План урока
2. Вопросы на повторение
3. Задание на повторение
4. Моделирование движения
5. Личная карточка Черепашки

Формат

pptx (powerpoint)

Количество слайдов

Кулешова Е.В

Аудитория

Слова

Конспект

Присутствует

Предназначение

• Для проведения урока учителем

Слайд 1

• ГБОУ ЦО №1456 ЮЗОУО г.Москвы
• Кулешова Е.В.
• Моделирование движения
• в среде ЛогоМиры

Слайд 2

Цели урока:

знать понятие моделирования;

Слайд 3

План урока

• Проверка домашнего задания
• Проведение тестирования
• Изучение новой темы
• Подведение итогов

Слайд 4

Вопросы на повторение

• Что такое исполнитель?
• Что такое СКИ?
• Что такое входные параметры?

Слайд 5

Задание на повторение

Слайд 6

Моделирование движения

• Модель – упрощённый аналог изучаемого объекта.
• Моделирование - процесс создания и изучения модели.
• Движение- перемещение объекта из одной точки пространства в другую со временем.

Слайд 7

Как задать скорость Черепашке

• Пауза в среде ЛогоМиры задается командой: жди <сколько ждать>
• Для медленного движения Черепашка должна выполнить много раз команды:Вперёд n жди n.

Слайд 8

Личная карточка Черепашки

Задать команду Черепашке можно не только в командной строке, но и с помощью её личной карточки.

Слайд 9

• ДВИЖЕНИЕ
• ПОВОРОТ
• ВОЗВРАТ
• РИСОВАНИЕ
• ВПЕРЕД Х (ВП Х)
• НАЗАД Х (НД Х)
• ПЕРО_ОПУСТИ (ПО)
• ПЕРО_ПОДНИМИ (ПП)
• ДОМОЙ (ДОМОЙ)
• СОТРИ_ГРАФИКУ (СГ)
• НАПРАВО У (ПР У)
• НАЛЕВО У (ЛВ У)

Посмотреть все слайды

Конспект

Конспект урока

учитель информатики и ИКТ

ГБОУ ЦО №1456

ЮЗАОУО г.Москвы

Возраст учащихся : 5 класс

Место в системе уроков по теме: изучается после знакомства со средой исполнителя и основными командами

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цели урока.

Познакомить с возможностями программы ЛогоМиры для моделирования движения:

знать понятие моделирования;

понимать назначение команд исполнителя;

уметь моделировать простые движения на компьютере.

Развивать творческого мышления, внимательность.

Формировать навыки самостоятельной работы.

Технические средства, дидактический материал: компьютер, проектор, программа ЛогоМиры, карточки с методическими рекомендациями и заданиями.

Этапы урока:

Организационный момент (2)

Проверка домашнего задания (2)

Актуализация знаний(6)

Изучение новой темы (15)

Самостоятельная работа на компьютере (15)

Подведение итогов и рефлексия(3)

Домашнее задание (2)

Используемые педагогические технологии.

Информационно-коммуникационные технологии на этапе мотивации знаний и изучения нового материала (презентация).

Проблемное обучение на этапе изучения нового материала

Разноуровневое обучение на этапе закрепления знаний.

Здоровьесберегающие технологии – физкультминутка в середине работы за компьютером.

Проектные методы обучения при выполнении домашнего задания.

Этапы урока	Ход урока
Организационный	1.Организация рабочего места учащихся, учителя; приветствие. 2. Сообщение темы, целей урока. 3. Планирование работы на уроке.
Проверка домашнего задания	На прошлом уроке у вас было задание создать кроссворд на тему «Алгоритмы». Чтобы проверить выполнение задания, сейчас каждый из вас задаст классу 1 вопрос из своего кроссворда, а остальные отвечают.
Актуализация знаний�презентация карточки	Сейчас вы выполните небольшой тест на проверку начальных знаний среды программирования ЛогоМиры. Тесты открыты у вас на компьютерах, вам нужно выбрать правильный ответ. (Демонстрация на экране) А теперь давайте вспомним, что мы уже знаем о среде программирования ЛогоМиры. Вопросы и задания классу. Что такое исполнитель? Кто является исполнителем в среде ЛогоМиры? Что такое СКИ? Какие команды исполнителя Черепашка вы уже знаете? Что такое входные параметры? Чтобы вам было легче ориентироваться в СКИ и в градусах поворотов я раздам вам карточки. (Раздаются карточки) Черепашка находится в отмеченной точке и смотрит в направлении стрелки. Какую команду поворота должна выполнить черепашка, чтобы двигаться по пунктирной линии.
Изучение новой темы�на экране запущена среда Логомиры	Как вы понимаете слово модель? А моделирование? �Модель – упрощённый аналог изучаемого объекта. Моделирование - процесс создания и изучения модели (есть записи в тетрадях). Мы с вами сегодня будем моделировать движение черепашки. Что такое движение? Перемещение объекта из одной точки пространства в другую со временем. (записываем в тетрадях) С помощью какой команды мы перемещаем Черепашку? – �Вперёд n Назад n Какие объекты, предметы мы сможем смоделировать в среде Логомиры? Вспомните меню форм (открывается программа) Логомиры – Машинка, вертолёт, рыбка, собачка, пчёлка, поезд и т.д. Давайте попробуем изобразить движение самолёта. �Изменяем форму Черепашки, выполняем команды налево 90 вперёд 200 А теперь изобразим движение человека. Те же команды. Чем отличаются эти движения? – Скоростью А как нам задать скорость Черепашке? (первый проблемный вопрос). Попробуйте процесс движения представить как последовательность отдельных перемещений. Что нужно вставить после каждого маленького перемещения, чтобы скорость движения уменьшилась? – Паузу Т.е. медленное движение можно представить в виде повторения двух команд: шаг – остановка, шаг – остановка и т.д. Теперь вопрос. А как называется алгоритм, в котором одни и те же команды выполняются несколько раз? (Циклическим) Пауза в среде ЛогоМиры задается следующей командой : жди <сколько ждать> (Записываем) Чем больше число после команды жди , тем медленнее скорость. Итак, для изображения движения по прямой линии Черепашка должна выполнить много раз команды Вперёд n жди n (Запишите это в тетрадь) Задать команду Черепашке можно не только в командной строке, но и с помощью её личной карточки . Чтобы задать инструкцию в личной карточке надо: Щелкнуть на изображении вылупляющийся из яйца черепашки в Инструментальном меню Щелкнуть на панцире черепашки на экране Занести в строку Инструкция команду или набор команд через пробел Задайте режим исполнения – Много раз Щелкните на кнопке ОК. В практическом задании вы попробуете изобразить движение Трактора и Машины одновременно. Щёлкнуть мышкой по Черепашке на панели инструментов, а затем щёлкнуть мышкой по рабочему полю Как переодеть Черепашку? Открыть поле форм. Щёлкнуть мышкой по нужной форме на поле форм, а затем щёлкнуть мышкой по Черепашке, которую хотите переодеть Машина должна двигаться быстрее чем трактор. Что нужно менять в их командах? – Параметр у команды ЖДИ. А также вы попробуете изобразить птичку, летающую по кругу Как нам задать движение по кругу? (второй проблемный вопрос) Что происходит при движении по кругу? – Объект не только перемещается вперёд, но ещё и поворачивается. Я вам сейчас раздам карточки с заданием, где будет и инструкция по его выполнению. Садимся за компьютеры.
Перед переходом за компьютеры проводится физкультминутка – �упражнения «Дерево»
Самостоятельная работа на компьютере
Подведение итогов урока и рефлексия	Обсуждение с классом соответствия достигнутых результатов урока с поставленными в начале урока задачами. Выставление оценок каждому ученику класса. Личностное осмысление каждым учеником результатов урока: Что было наиболее трудным? Что удалось лучше всего? Что могло бы улучшить работу?
Информация о домашнем задании	Написать программу для написания своего имени в среде ЛогоМиры и оформить результат исполнения программы (на листочках в клеточку).

Использованная литература

Н. В. Макарова Информатика и ИКТ Начальный уровень: Питер, 2010

Гузеев В.В. Познавательная самостоятельность учащихся и развитие образовательной технологии. М.: НИИ школьных технологий, 2004. 128 с.

http://aamaiorova.narod.ru/DswMedia/uroki_informatika_5klass.doc

Приложение 1

Моделирование движения в среде Логомиры

Задание

Изобразите на экране одновременно движение, например, машины и трактора.

Инструкция к выполнению задания

Как установить несколько Черепашек?

Щёлкнуть мышкой по Черепашке на панели инструментов, а затем щёлкнуть мышкой по рабочему полю

Как переодеть Черепашку?

Открыть поле форм. Щёлкнуть мышкой по нужной форме на поле форм, а затем щёлкнуть мышкой по Черепашке, которую хотите переодеть

Как записать команды в личную карточку Черепашки?

Щёлкнуть мышкой по Черепашке на панели инструментов, а затем щёлкнуть мышкой по нужной Черепашке.

Как изобразить прямолинейное движение?

Повторить много раз:

Вперёд 5 Жди 2

2*) Изобразите круговое движение птички.

Как изобразить круговое движение?

Повторить много раз:

3*) Нарисуйте при помощи встроенного графического редактора простой пейзаж (дорогу, небо, траву)

Приложение 2.

Дополнительное задание.

Изобразите пчёлку, летающую над клумбой (клумбу нарисовать в графилеском редакторе).

*Как изобразить хаотическое движение?

Повторить много раз:

В этих командах используется функция сл n. Эта функция возвращает случайное число, меньшее n. Например, значением функции сл 8 может быть любое число из набора {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Приложение 3.

Приложение 4.

Оценочный лист.

Фамилия Имя	Тест	Ответы	Практика	Итог

НАЛЕВО У (ЛВ У)

НАПРАВО У (ПР У)

СОТРИ_ГРАФИКУ (СГ)

ДОМОЙ (ДОМОЙ)

ПЕРО_ПОДНИМИ (ПП)

ПЕРО_ОПУСТИ (ПО)

НАЗАД Х (НД Х)

ВПЕРЕД Х (ВП Х)

РИСОВАНИЕ

ДВИЖЕНИЕ

Конспект урока

Тема: Моделирование движения в среде ЛогоМиры

учитель информатики и ИКТ

ГБОУ ЦО №1456

ЮЗАОУО г.Москвы

Тема урока: Моделирование движения в среде ЛогоМиры

Возраст учащихся : 5 класс

Место в системе уроков

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

РЕСПУБЛИКАНСКИЙ ИНСТИТУТ ИННОВАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Курсовая работа

Дисциплина «Математическое моделирование»

Тема: «Моделирование движения парашютиста»

Введение

1. Свободное падение тела с учетом сопротивления среды

2. Формулировка математической модели и ее описание.

3. Описание программы исследования с помощью пакета Simulink

4. Решение задачи программным путем

Список использованных источников

Введение

Формулировка проблемы :

Катапульта выбрасывает манекен человека с высоты 5000 метров. Парашют не раскрывается, манекен падает на землю. Оценить скорость падения в момент удара о землю. Оценить время достижения манекеном предельной скорости. Оценить высоту, на которой скорость достигла предельного значения. Построить соответствующие графики, провести анализ и сделать выводы.

Цель работы :

Научиться составлять математическую модель, решать дифференциальные уравнения программными средствами (используется язык технических вычислений MatLAB 7.0, пакет расширения Simulink) и анализировать полученные данные о математической модели.

1. Свободное падение тела с учетом сопротивления среды

При реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной среде трение накладывает огромный отпечаток на характер движения. Каждый понимает, что предмет, сброшенный с большой высоты (например, парашютист, прыгнувший с самолета), вовсе не движется равноускоренно, так как по мере набора скорости возрастает сила сопротивления среды. Даже эту, относительно несложную, задачу нельзя решить средствами “школьной” физики: таких задач, представляющих практический интерес, очень много. Прежде чем приступать к обсуждению соответствующих моделей, вспомним, что известно о силе сопротивления.

Закономерности, обсуждаемые ниже, носят эмпирический характер и отнюдь не имеют столь строгой и четкой формулировки, как второй закон Ньютона. О силе сопротивления среды движущемуся телу известно, что она, вообще говоря, растет с ростом скорости (хотя это утверждение не является абсолютным). При относительно малых скоростях величина силы сопротивления пропорциональна скорости и имеет место соотношение, где определяется свойствами среды и формой тела. Например, для шарика - это формула Стокса, где - динамическая вязкость среды, r - радиус шарика. Так, для воздуха при t = 20°С и давлении 1 атм = 0,0182 H.c.м-2 для воды 1,002 H.c.м-2 , для глицерина 1480 H.c.м-2.

Оценим, при какой скорости для падающего вертикально шара сила сопротивления сравняется с силой тяжести (в движение станет равномерным).

(1)

Пусть r= 0,1 м, = 0,8 кг/м (дерево). При падении в воздухе м/с, в воде 17 м/с, в глицерине 0,012 м/с.

На самом деле первые два результата совершенно не соответствуют действительности. Дело в том, что уже при гораздо меньших скоростях сила сопротивления становится пропорциональной квадрату скорости: . Разумеется, линейная по скорости часть силы сопротивления формально также сохранится, но если , то вкладом можно пренебречь (это конкретный пример ранжирования факторов). О величине k2 известно следующее: она пропорциональна площади сечения тела S, поперечного по отношению к потоку, и плотности среды и зависит от формы тела. Обычно представляют k2 = 0,5сS, где с - коэффициент лобового сопротивления - безразмерен. Некоторые значения с (для не очень больших скоростей) приведены на рис.1.

При достижении достаточно большой скорости, когда образующиеся за обтекаемым телом вихри газа или жидкости начинают интенсивно отрываться от тела, значение с в несколько раз уменьшается. Для шара оно становится приблизительно равным 0,1. Подробности можно найти в специальной литературе.

Вернемся к указанной выше оценке, исходя из квадратичной зависимости силы сопротивления от скорости.

для шарика

(3)

Рис 1 . Значения коэффициента лобового сопротивления для некоторых тел, поперечное сечение которых имеет указанную на рисунке форму

Примем r = 0,1 м, =0,8.103 кг/м3 (дерево). Тогда для движения в воздухе (= 1,29 кг/м3) получаем 18 м/с, в воде(= 1.103 кг/м3) 0,65 м/с, в глицерине (= 1,26.103 кг/м3) 0,58 м/с.

Сравнивая с приведенными выше оценками линейной части силы сопротивления, видим, что для движения в воздухе и в воде ее квадратичная часть сделает движение равномерным задолго до того, как это могла бы сделать линейная часть, а для очень вязкого глицерина справедливо обратное утверждение. Рассмотрим свободное падение с учетом сопротивления среды. Математическая модель движения - уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело: силы тяжести и силы сопротивления среды:

(4)

Движение является одномерным; проецируя векторное уравнение на ось, направленную вертикально вниз, получаем

(5)

Вопрос, который мы будем обсуждать на первом этапе, таков: каков характер изменения скорости со временем, если все параметры, входящие в уравнение (7) заданы? При такой постановке модель носит сугубо дескриптивный характер. Из соображений здравого смысла ясно, что при наличии сопротивления, растущего со скоростью, в какой-то момент сила сопротивления сравняется с силой тяжести, после чего скорость больше возрастать не будет. Начиная с этого момента, , и соответствующую установившуюся скорость можно найти из условия =0, решая не дифференциальное, а квадратное уравнение. Имеем

(6)

(второй - отрицательный - корень, естественно, отбрасываем). Итак, характер движения качественно таков: скорость при падении возрастает от до . Как и по какому закону – это можно узнать, лишь решив дифференциальное уравнение (7).

Однако даже в столь простой задаче мы пришли к дифференциальному уравнению, которое не относится ни к одному из стандартных типов, выделяемых в учебниках по дифференциальным уравнениям, допускающих очевидным образом аналитическое решение. И хотя это не доказывает невозможность его аналитического решения путем хитроумных подстановок, но они не очевидны. Допустим, однако, что нам удастся найти такое решение, выраженное через суперпозицию нескольких алгебраических и трансцендентных функций – а как найти закон изменения во времени перемещения? Формальный ответ прост:

(7)

но шансы на реализацию этой квадратуры уже совсем невелики. Дело в том, что класс привычных нам элементарных функций очень узок, и совершенно обычна ситуация, когда интеграл от суперпозиции элементарных функций не может быть выражен через элементарные функции в принципе. Математики давно расширили множество функций, с которыми можно работать почти так же просто, как с элементарными (т. е. находить значения, различные асимптотики, строить графики, дифференцировать, интегрировать). Тем, кто знаком с функциями Бесселя, Лежандра, интегральными функциями и еще двумя десятками других, так называемых специальных функций, легче находить аналитические решения задач моделирования, опирающихся на аппарат дифференциальных уравнений. Однако даже получение результата в виде формулы не снимает проблемы представления его в виде, максимально доступном для понимания, чувственного восприятия, ибо мало кто может, имея формулу, в которой сопряжены логарифмы, степени, корни, синусы и тем более специальные функции, детально представить себе описываемый ею процесс - а именно это есть цель моделирования.

В достижении этой цели компьютер - незаменимый помощник. Независимо от того, какой будет процедура получения решения - аналитической или численной, - задумаемся об удобных способах представления результатов. Разумеется, колонки чисел, которых проще всего добиться от компьютера (что при табулировании формулы, найденной аналитически, что в результате численного решения дифференциального уравнения), необходимы; следует лишь решить, в какой форме и размерах они удобны для восприятия. Слишком много чисел в колонке быть не должно, их трудно будет воспринимать, поэтому шаг, с которым заполняется таблица, вообще говоря, гораздо больше шага, с которым решается дифференциальное уравнение в случае численного интегрирования, т.е. далеко не все значения и , найденные компьютером, следует записывать в результирующую таблицу (табл. 2).

Таблица 2

Зависимость перемещения и скорости падения от времени (от 0 до 15 с)

t(c)	S(m)	(м/с)	t(c)	S(m)	(м/с)

Кроме таблицы необходимы графики зависимостей и ; по ним хорошо видно, как меняются со временем скорость и перемещение, т.е. приходит качественное понимание процесса.

Еще один элемент наглядности может внести изображение падающего тела через равные промежутки времени. Ясно, что при стабилизации скорости расстояния между изображениями станут равными. Можно прибегнуть и к цветовой раскраске - приему научной графики, описанному выше.

Наконец, можно запрограммировать звуковые сигналы, которые подаются через каждый фиксированный отрезок пути, пройденный телом - скажем, через каждый метр или каждые 100 метров - смотря по конкретным обстоятельствам. Надо выбрать интервал так, чтобы вначале сигналы были редкими, а потом, с ростом скорости, сигнал слышался все чаще, пока промежутки не сравняются. Таким образом, восприятию помогают элементы мультимедиа. Поле для фантазии здесь велико.

Приведем конкретный пример решения задачи о свободно падающем теле. Герой знаменитого фильма “Небесный тихоход” майор Булочкин, упав с высоты 6000 м в реку без парашюта, не только остался жив, но даже смог снова летать. Попробуем понять, возможно, ли такое на самом деле или же подобное случается только в кино. Учитывая сказанное выше о математическом характере задачи, выберем путь численного моделирования. Итак, математическая модель выражается системой дифференциальных уравнений.

(8)

Разумеется, это не только абстрактное выражение обсуждаемой физической ситуации, но и сильно идеализированное, т.е. ранжирование факторов перед построением математической модели произведено. Обсудим, нельзя ли произвести дополнительное ранжирование уже в рамках самой математической модели с учетом конкретно решаемой задачи, а именно - будет ли влиять на полет парашютиста линейная часть силы сопротивления и стоит ли ее учитывать при моделировании.

Так как постановка задачи должна быть конкретной, мы примем соглашение, каким образом падает человек. Он опытный летчик и наверняка совершал раньше прыжки с парашютом, поэтому, стремясь уменьшить скорость, он падает не “солдатиком”, а лицом вниз, “лежа”, раскинув руки в стороны. Рост человека возьмем средний - 1,7 м, а полуобхват грудной клетки выберем в качестве характерного расстояния - это приблизительно 0,4 м. для оценки порядка величины линейной составляющей силы сопротивления воспользуемся формулой Стокса. Для оценки квадратичной составляющей силы сопротивления мы должны определиться со значениями коэффициента лобового сопротивления и площадью тела. Выберем в качестве коэффициента число с=1,2 как среднее между коэффициентами для диска и для полусферы (выбор дня качественной оценки правдоподобен). Оценим площадь: S = 1,7 ∙ 0,4 = 0,7(м2).

В физических задачах на движение фундаментальную роль играет второй закон Ньютона. Он гласит, что ускорение, с которым движется тело, прямо пропорционально действующей на него силе (если их несколько, то равнодействующей, т.е. векторной сумме сил) и обратно пропорционально его массе:

Так для свободно падающего тела под действием только собственной массы закон Ньютона примет вид:

Или в дифференциальном виде:

Взяв интеграл от этого выражения, получим зависимость скорости от времени:

Если в начальный момент V0 = 0, тогда .

.

Выясним, при какой скорости сравняются линейная и квадратичная составляющие силы сопротивления. Обозначим эту скорость Тогда

Ясно, что практически с самого начала скорость падения майора Булочкина гораздо больше, и поэтому линейной составляющей силы сопротивления можно пренебречь, оставив лишь квадратичную составляющую.

После оценки всех параметров можно приступить к численному решению задачи. При этом следует воспользоваться любым из известных методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений: методом Эйлера, одним из методов группы Рунге - Кутта или одним из многочисленных неявных методов. Разумеется, у них разная устойчивость, эффективность и т.д. - эти сугубо математические проблемы здесь не обсуждаются.

Вычисления производятся до тех пор, пока не опустится на воду. Примерно через 15 с после начала полета скорость становится постоянной и остается такой до приземления. Отметим, что в рассматриваемой ситуации сопротивление воздуха радикально меняет характер движения. При отказе от его учета график скорости, изображенный на рисунке 2, заменился бы касательной к нему в начале координат.

Рис. 2. График зависимости скорости падения от времени

2. Формулировка математической модели и ее описание

парашютист падение сопротивление математическая модель

При построении математической модели необходимо соблюдение следующих условий:

Манекен массой 50 кг соответственно падают в воздухе с плотностью 1,225 кг/м3;

На движение влияют только силы линейного и квадратичного сопротивления;

Площадь сечения тела S=0.4 м2;

Тогда для свободно падающего тела под действием сил сопротивления закон Ньютона примет вид:

,

где a – ускорение тела, м/с2,

m – его масса, кг,

g – ускорение свободного падения на земле, g = 9,8 м/с2,

v – скорость тела, м/c,

k1 – линейный коэффициент пропорциональности, примем k1 = β = 6πμl (μ – динамическая вязкость среды, для воздуха μ = 0,0182 Н.с.м-2; l – эффективная длина, примем для среднестатистического человека при росте 1,7 м и соответствующем обхвате грудной клетки l = 0,4 м),

k2 – квадратичный коэффициент пропорциональности. K2 = α = С2ρS. В данном случае достоверно можно узнать лишь плотность воздуха, а площадь манекена S и коэффициент лобового сопротивления С2 для него определить сложно, можно воспользоваться полученными экспериментальными данными и принять K2 = α = 0,2.

Тогда получим закон Ньютона в дифференциальном виде:

Тогда можно составить систему дифференциальных уравнений:

Математическая модель при падении тела в гравитационном поле с учетом сопротивления воздуха выражается системой из двух дифференциальных уравнений первого порядка.

3. Описание программы исследования с помощью пакета Simulink

Для имитационного моделирования движения парашютиста в системе MATLAB используем элементы пакета расширения Simulink. Для задания величин начальной высоты - H_n, конечной высоты - H_ k, числа - pi, μ – динамическая вязкость среды - my, обхват - R, массе манекена m, коэффициент лобового сопротивления - c, плотность воздуха - ro, площадь сечения тела - S, ускорение свободного падения - g, начальная скорость - V_n используем элемент Constantнаходящийся в Simulink/Sources(рисунок 3).

Рисунок 3. Элемент Constant

Для операции умножения используем блок Product, находящийся в Simulink/MathOperations/Product (рисунок 4).

Рисунок. 4

Для ввода k1 – линейного коэффициента пропорциональности и k2 – квадратичного коэффициента пропорциональности используем элемент Gain, находящийся в Simulink/MathOperations/Gain(Рисунок. 5.)

Рисунок. 5

Для интегрирования – элемент Integrator. Находящийсяв Simulink/Continuous/Integrator. Рисунок. 6.

Рисунок. 6

Для вывода информации используем элементы Display и Scope. Находящиеся в Simulink/Sinks. (Рисунок. 7)

Рисунок. 7

Математическая модель для исследования с использованием вышеперечисленных элементов, описывающая последовательный колебательный контур приведена на рисунке 8.

Рисунок. 8

Программа исследований

1. Исследование графика зависимости высоты от времени и скорости от времени масса парашютиста равна 50кг.

Рисунок 9

Из графиков видно, что при расчете падения парашютиста массой 50 кг, следующие данные: максимальная скорость равна 41,6 м/с и время равно 18с, и должна достигаться через 800 м падения, т.е. в нашем случае на высоте около 4200 м.

Рисунок. 10

2. Исследование графика зависимости высоты от времени и скорости от времени масса парашютиста равна 100кг.

Рисунок 11

Рисунок 12

С массой парашютиста 100 кг.: максимальная скорость равна 58 м/с и время равно 15с, и должна достигаться через 500 м падения, т.е. в нашем случае на высоте около 4500 м. (рисунок. 11., рисунок. 12).

Выводы по полученным данным, которые справедливы для манекенов, отличающихся только массой, но с одинаковыми размерами, формой, типом поверхности и другими параметрами, определяющими внешний вид объекта.

Легкий манекен при свободном падении в гравитационном поле с учетом сопротивления среды достигает меньшей предельной скорости, но за меньший промежуток времени и, естественно, при одинаковой начальной высоте – в более низкой точке траектории, чем тяжелый манекен.

Чем тяжелее манекен, тем быстрее он достигнет земли.

4. Решение задачи программным путем

%Функция моделирования движения парашютиста

function dhdt=parashut(t,h)

global k1 k2 g m

% система ДУ первого порядка

dhdt(1,1)= -h(2);

% Моделирование движения парашютиста

% Васильцов С. В.

global h0 g m k1 k2 a

% k1-линейный коэффициент пропорциональности, определяющийся свойствами среды и формой тела. Формула Стокса.

k1=6*0.0182*0.4;

%k2-квадратичный коэффициент пропорциональности, пропорционален площади сечения тела, поперечного по

%отношения к потоку, плотности среды и зависит от формы тела.

k2=0.5*1.2*0.4*1.225

g=9.81; % ускорение свободного падения

m=50; % масса манекена

h0=5000; % высота

Ode45(@parashut,,)

r=find(h(:,1)>=0);

a=g-(k1*-h(:,2)+k2*h(:,2).*h(:,2))/m % вычисляемускорение

% Построение графика зависимости высоты от времени

subplot(3,1,1), plot(t,h(:,1),"LineWidth",1,"Color","r"),grid on;

xlabel("t, c"); ylabel("h(t), m");

title("Графикзависимостивысотыотвремени", "FontName", "Arial","Color","r","FontWeight","bold");

legend("m=50 kg")

% Построение графика зависимости скорости от времени

subplot(3,1,2), plot(t,h(:,2),"LineWidth",1,"Color","b"),grid on;

ylabel("V(t), m/c");

Title("Графикзависимостискоростиотвремени", "FontName", "Arial","Color","b","FontWeight","bold");

legend("m=50 kg")

% Построение графика зависимости ускорения от времени

subplot(3,1,3), plot(t,a,"-","LineWidth",1,"Color","g"),grid on;

text (145, 0,"t, c");

ylabel("a(t), m/c^2");

Title("Графикзависимостиускоренияотвремени", "FontName", "Arial","Color","g","FontWeight","bold");

legend("m=50 kg")

Экранная форма вывода графиков.

1. Вся физика. Е.Н. Изергина. – М.: ООО «Издательство «Олимп», 2001. – 496 с.

2. Касаткин И. Л. Репетитор по физике. Механика. Молекулярная физика. Термодинамика/ Под ред. Т. В. Шкиль. – Ростов Н/Д: изд-во «Феникс», 2000. – 896 с.

3. Компакт-диск «Самоучитель MathLAB». ООО «Мультисофт», Россия, 2005.

4. Методические указания к Курсовой работе: дисциплина Математическое моделирование. Движение тела при учете сопротивления среды. – Минск. РИИТ БНТУ. Кафедра ИТ, 2007. – 4 с.

5. Решение систем дифференциальных уравнений в Matlab. Дубанов А.А. [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://rrc.dgu.ru/res/exponenta/ educat/systemat/dubanov/index.asp.htm;

6. Энциклопедия д.д. Физика. Т. 16. Ч.1. с. 394 – 396. Сопротивление движению и силы трения. А. Гордеев. /Глав. ред. В.А. Володин. – М. Аванта+, 2000. – 448 с.

7. MatlabFunctionReference [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://matlab.nsu.ru/Library/Books/Math/MATLAB/help/techdoc/ref/.

Движение автомобиля рассматривается как плоскопараллельное движение твердого тела по горизонтальной поверхности (рис. 1). В общем случае движение автомобиля описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

где - вектор ускорения центра масс автомобиля; m - масса автомобиля; fi - вектор силы сопротивления прямолинейному движению i-го колеса; i - вектор взаимодействия с грунтом i-го колеса; w - вектор силы сопротивления воздуха; J z - момент инерции автомобиля относительно оси z; M nki - момент сопротивления повороту i-го колеса.

Ускорение определяется как

где dV/dt - относительная производная скорости центра масс автомобиля. Проекции скоростей в координатах x`, y`, z`:

Учитывая, что:

можно записать следующую систему уравнений:

Данную систему уравнений решим с помощью пакета DEE (Differential Equation Editor) входящего в состав Simulink. Для этого записываем уравнения в нормальной форме Коши и настраиваем входные данные:

Рисунок 6. Решатель систем дифференциальных уравнений

Входными данными будут являться выходы с предыдущих блоков. Общий вид модели представлен на следующем рисунке:

Рисунок 7. Модель транспортного средства с колесной формулой 4х4

Результаты моделирования представим графически:

Рисунок 8. Траектория движения автомобиля

Результаты моделирования представляют собой траекторию движения автомобиля в форме окружности, что говорит об адекватности данной модели. Данная работа может послужить фундаментом для дальнейших перспективных исследований в области разработки систем автоматического управления движением автомобиля, в том числе систем активной безопасности.