Примеры решенных систем с параметром. Системы уравнений с параметром

Решим систему уравнений с параметром (А. Ларин, вариант 98)

Найдите все значения параметра , при каждом из которых система

имеет ровно одно решение.

Посмотрим внимательно на систему. В первом уравнении системы слева стоит , а правая часть не зависит от параметра. То есть мы можем рассматривать это уравнение как уравнение функции

и можем построить график этой функции.

Второе уравнение системы

зависит от параметра, и, выделив в левой части уравнения полный квадрат, мы получим уравнение окружности.

Так что имеет смысл построить графики каждого уравнения, и посмотреть, при каком значении параметра эти графики имеют одну точку пересечения.

Начнем с первого уравнения. Для начала раскроем модули. Для этого приравняем каждое подмодульное выражение к нулю, чтобы найти точки, в которых происходит смена знака.

Первое подмодульное выражение меняет знак при , второе - при .

Нанесем эти точки на координатную прямую, и найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:

Заметим, что при и уравнение не имеет смысла, поэтому эти точки выкалываем.

Теперь раскроем модули на каждом промежутке. (Вспомним: если подмодульное выражение больше или равно нулю, то мы раскрываем модуль с тем же знаком, а если меньше нуля, то с противоположным.)

Оба подмодульных выражения отрицательны, следовательно, оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

То есть при исходная функция имеет вид

На этом промежутке первое подмодульное выражение отрицательно, а второе положительно, следовательно получаем:

- на этом промежутке функция не существует.

3. title="x>2">

На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны, раскрываем оба модуля с тем же знаком. Получаем:

То есть при title="x>2"> исходная функция имеет вид

Итак, мы получили график функции

Теперь займемся вторым уравнением:

Выделим в левой чаcти уравнения полный квадрат, для этого прибавим к обеим частям уравнения число 4:

При конкретном значении параметра график этого уравнения представляет собой окружность с центром в точке с координатами , радиус которой равен 5. При различных значениях мы имеем серию окружностей:

Будем двигать окружность снизу вверх до тех пор, пока она не коснется левой части графика первой функции. На рисунке эта окружность красного цвета. Центр этой окружности - точка , ее координаты (-2;-3). Дальше при движении вверх окружность имеет одну точку пересечения с левой частью графика функции, то есть система имеет единственное решение.

Продолжаем двигать окружность вверх пока она не коснется правой части графика первой функции. Это произойдет когда центр окружности будет в точке с координатами (-2;0) - на рисунке эта окружность синего цвета.

При движении дальше вверх окружность будет пересекать и левую, и правую части графика первой функции, то есть окружность будет иметь две точки пересечения с графиком первой функции, а система будет иметь два решения. Это ситуация продолжается до тех пор, пока центр окружности не окажется в точке с координатами (-2; 5) - эта окружность зеленого цвета. В этой точке окружность касается левой части графика и пересекает правую. То есть система имеет одно решение.

Итак, система имеет единственное решение при (-3;0]

2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?

[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х

Если а=0, b=0, то х R

Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =

3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)

II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.

1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.

[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]

2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?

[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]

3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?

4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?

[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]

5. Выясните, что представляет собой график уравнения:

[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3

Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]

6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?

[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]

7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]

8. Что значит решить систему уравнений?

[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]

9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).

10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?

[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]

11. Каким уравнением обычно задается прямая?

12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:

I вариант: у=-х+2 y= -x-3, k 1 = k 2 , b 1 b 2, нет решений;

II вариант: y=-х+8 y=2x-1, k 1 k 2 , одно решение;

III вариант: y=-x-1 y=-x-1, k 1 = k 2 , b 1 = b 2, много решений.

Вывод:

1. Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
2. Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
3. Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.

На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.

III. Объяснение новой темы.

Определение: Система вида

• A 1 x+B 1 y=C
• A 2 x+B 2 y=C 2

где A 1, A 2, B 1 ,B 2, C 1 C 2 – выражения, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.

Возможны следующие случаи:

1) Если , то система имеет единственное решение

2) Если , то система не имеет решений

3) Если , то система имеет бесконечно много решений.

IV. Закрепление

Пример 1.

При каких значениях параметра а система

• 2х - 3у = 7
• ах - 6у = 14

а) имеет бесконечное множество решений;

б) имеет единственное решение

Ответ:

а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;

б) если а 4, то решение единственное.

Пример 2.

Решите систему уравнений

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.

б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет

в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.

Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет

б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество

• у - любое
• x=n-2y

в) если m1 и n - любое, то

Пример 3.

• ах-3ау=2а+3
• х+ау=1

Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение

а(1-ау)-3ау=2а+3

а-а 2 у-3ау=2а+3

А 2 у-3ау=а+3

А(а+3)у=а+3

Возможны случаи:

1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]

Следовательно, при а=0 система не имеет решений

2) а=-3. Тогда 0*у=0.

Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у

3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2

Ответ:

1) если а=0, то (х; у)

2) если а=-3, то х=1+3у, у

3) если а 0 и а?-3, то х=2, у=-

Рассмотрим II способ решения системы (1).

Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В 2, второе на – В 1 и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:

Т.к. А 1 В 2 -А 2 В 1 0, то х =

Теперь исключим переменную х. Для этого умножим первое уравнение системы (1) на А 2 , а второе на – А 1 , и оба уравнения сложим почленно:

• А 1 А 2 х +А 2 В 1 у=А 2 С 1
• -А 1 А 2 х-А 1 В 2 у=-А 1 С 2
• у(А 2 В 1 -А 1 В 2)=А 2 С 1 -А 1 С 2

т.к. А 2 В 1 -А 1 В 2 0 у =

Для удобства решения системы (1) введем обозначения:

- главный определитель

Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:

Приведенные формулы называют формулами Крамера.

Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=

Если , или , , то система (1) не имеет решений

Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.

В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.

Если коэффициенты А 1 , А 2 , В 1 , В 2 , системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.

Пример 4.

Для всех значений параметра а решить систему уравнений

• (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
• (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4

Решение: Найдем определитель системы:

= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)

= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)

=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)

Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.

Пример: ax+b=c.

В этом уравнении х – неизвестное, a, b,c – коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами .

Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметров).

Пример: –5х +10=– 1;

x +4y= 0;

–102–1000y= ; и т. д.

это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.

Решить уравнение с параметрами – это значит:

1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.

Обратимся к уже приведенному уравнению с параметрами ax+b=c и решим его.

Если а ¹0, то https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41">;

при а=0 и b=c, х – любое действительное число;

при а=0 и b ¹ c, уравнение корней не имеет.

В процессе решения этого уравнения мы выделили значение параметра а=0 , при котором происходит качественное изменение уравнения, такое значение параметра мы в дальнейшем будем называть «контрольным». В зависимости от того, какое уравнение мы имеем, «контрольные» значения параметра находятся по-разному. Рассмотрим различные типы уравнений и укажем способ нахождения «контрольных»значений параметра.

I. Линейные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к линейным

В таких уравнениях «контрольными» значениями параметров, как правило, являются значения, обращающие в нуль коэффициенты при х .

Пример 1. : 2а (а –2)х=а– 2

1. «Контрольными» значениями являются значения, удовлетворяющие условию:

2а (а –2)=0

решим это уравнение относительно переменной а .

2а= 0 или а –2= 0, откуда а= 0, а= 2.

2. Решим первоначальное уравнение при «контрольных» значениях параметра.

При а= 0 имеем 0×х=– 2, но это не имеет место ни при каких действительных значениях х , то есть в этом случае уравнение корней не имеет.

При а= 2 имеем 0×х= 0, это справедливо при любом значении х , значит, корнем уравнения является любое действительное число х .

3. Решим первоначальное уравнение, в случае, когда а ¹ 0 и а ¹ 2, тогда 2а (а –2)¹ 0 и обе части уравнения можно поделить на 2а (а –2), получим:

Так как а ¹ 2, то дробь можно сократить на (а –2), тогда имеем .

Ответ: при а= 0, корней нет;

при а= 2, корень – любое действительное число;

при а ¹ 0, а ¹ 2, .

Можно представить алгоритм решения такого типа уравнений.

1. Определить «контрольные» значения параметра.

2. Решить уравнение относительно х , при контрольных значениях параметра.

3. Решить уравнение относительно х , при значениях, отличных от «контрольных».

4. Записать ответ в виде:

Ответ: 1) при значениях параметра... , уравнение имеет корни... ;

2) при значениях параметра... , уравнение имеет корни... ;

3) при значениях параметра... , уравнение корней не имеет.

Пример 2. Решить уравнение с параметром

(а 2–2а +1)х=а 2+2а– 3

1. Найдем контрольные значения параметра

а 2–2а +1=0 Û (а –1)2=0 Û а =1

2. Решим уравнение при а= 1

0×х= (1+2×1–3) Û 0×х= 0 Þ х – любое действительное число.

3. Решим уравнение при а ¹ 1

а 2–2а +1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

так как а ¹ 1, дробь можно сократить

https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width="64" height="41 src=">.

Пример 3. Решить уравнение с параметром

https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width="72" height="41 src=">.

4. Ответ: 1) при а= 2, корней нет;

2) при а ¹ 0, а ¹ 2, ;

3) при а= 0 уравнение не имеет смысла.

Пример 4. Решить уравнение с параметром

https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width="135" height="45 src=">

https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width="175" height="45 src=">

так как х ¹ 0 и а ¹ – 2, уравнение равносильно уравнению

(а +3)х= 2а –1

найдем контрольные значения параметра

а +3= 0 Þ а=– 3.

2. Решим уравнение при а=– 3.

0×х=– 7

при любом х равенство места не имеет

3. Решим уравнение при а ¹ – 3, а+ 3¹ 0.

https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û ,

поэтому, чтобы уравнение имело смысл https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src=">, корней нет;

2) при а ¹ – 2, а ¹ – 3, , .

II. Квадратные уравнения с параметром и уравнения, приводимые к квадратным

В таких уравнениях в качестве «контрольных» берут обычно значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х 2, так как в этом случае уравнение становится линейным, а также значение параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения, так как от значения дискриминанта зависит число действительных корней квадратного уравнения.

Пример 5. Решить уравнение с параметром

(а –1)х 2+2(2а +1)х +(4а +3)= 0

1. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х

а– 1=0 Û а= 1

2. Решим уравнение при а= 1

0×х 2+2(2×1+1)х +4×1+3=0 Û 6х +7=0 Û .

3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль дискриминант уравнения

D =(2(2а +1))2–4(а –1)(4а +3)=(4а +1)2–(4а –4)(4а +3)=4(5а +4)

4(5а +4)=0 Û .

4. Решим уравнение при , в этом случае уравнение будет иметь один действительный корень

https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

9х 2+6х +1=0 Û (3х +1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src=">. В этом случае D <0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

6. Решим уравнение при а ¹1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width="341" height="49 src=">

7. Ответ: 1) при https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width="51" height="41 src=">;

2) при а= 1, ;

3) при , действительных корней нет;

4) при и а ¹1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

1. Так как а стоит в знаменателе дроби, то уравнение имеет смысл только при а ¹0. В знаменателе стоят и выражения а2х– 2а и 2–ах , которые тоже должны быть отличны от нуля

а2х– 2а ¹0 Û а (ах –2)¹0 Û а ¹0, ах –2¹0 Û а ¹0, ;

2–ах ¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">.

2. Решим уравнение при а ¹0, https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" height="47 src="> Û Û

(1–а )х 2+2х +1+а =0 ...................(*)

3. Найдем значения параметра, обращающие в нуль коэффициент при х 2

1–а =0 Û а =1

4. Решим уравнение (*) при а =1

0×х 2+2х +2=0 Û 2х=– 2 Û х= –1

сразу проверим, не совпадает ли х с https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src=">, значит, при а =1, х=– 1.

Уравнение вида f (x ; a ) = 0 называется уравнением с переменной х и параметром а .

Решить уравнение с параметром а – это значит, для каждого значения а найти значения х , удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. ах = 0

Пример 2. ах = а

Пример 3.

х + 2 = ах
х – ах = -2
х(1 – а) = -2

Если 1 – а = 0, т.е. а = 1, то х 0 = -2 корней нет

Если 1 – а 0, т.е. а 1, то х =

Пример 4.

(а 2 – 1) х = 2а 2 + а – 3
(а – 1)(а + 1)х = 2(а – 1)(а – 1,5)
(а – 1)(а + 1)х = (1а – 3)(а – 1)

Если а = 1, то 0х = 0
х – любое действительное число

Если а = -1, то 0х = -2
Корней нет

Если а 1, а -1, то х = (единственное решение).

Это значит, что каждому допустимому значению а соответствует единственное значение х .

Например:

если а = 5, то х = = ;

если а = 0, то х = 3 и т. д.

Дидактический материал

1. ах = х + 3

2. 4 + ах = 3х – 1

3. а = +

при а = 1 корней нет.

при а = 3 корней нет.

при а = 1 х – любое действительное число, кроме х = 1

при а = -1, а = 0 решений нет.

при а = 0, а = 2 решений нет.

при а = -3, а = 0, 5, а = -2 решений нет

при а = -с , с = 0 решений нет.

Квадратные уравнения с параметром

Пример 1. Решить уравнение

(а – 1)х 2 = 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0

При а = 1 6х + 7 = 0

В случае а 1 выделим те значения параметра, при которых Д обращается в нуль.

Д = (2(2а + 1)) 2 – 4(а – 1)(4а + 30 = 16а 2 + 16а + 4 – 4(4а 2 + 3а – 4а – 3) = 16а 2 + 16а + 4 – 16а 2 + 4а + 12 = 20а + 16

20а + 16 = 0

20а = -16

Если а < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Если а > -4/5 и а 1, то Д > 0,

х =

Если а = 4/5, то Д = 0,

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 + 2(а + 1)х + 9а – 5 = 0 имеет 2 различных отрицательных корня?

Д = 4(а + 1) 2 – 4(9а – 5) = 4а 2 – 28а + 24 = 4(а – 1)(а – 6)

4(а – 1)(а – 6) > 0

по т. Виета: х 1 + х 2 = -2(а + 1)
х 1 х 2 = 9а – 5

По условию х 1 < 0, х 2 < 0 то –2(а + 1) < 0 и 9а – 5 > 0

В итоге

4(а – 1)(а – 6) > 0 - 2(а + 1) < 0 9а – 5 > 0

а < 1: а > 6 а > - 1 а > 5/9

(Рис. 1 ) < a < 1, либо a > 6

Пример 3. Найдите значения а , при которых данное уравнение имеет решение.

х 2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0

Д = 4(а – 1) 2 – 4(2а + 10 = 4а 2 – 8а + 4 – 8а – 4 = 4а 2 – 16а

4а 2 – 16 0

4а (а – 4) 0

а(а – 4)) 0

а(а – 4) = 0

а = 0 или а – 4 = 0
а = 4

(Рис. 2 )

Ответ: а 0 и а 4

Дидактический материал

1. При каком значении а уравнение ах 2 – (а + 1) х + 2а – 1 = 0 имеет один корень?

2. При каком значении а уравнение (а + 2) х 2 + 2(а + 2)х + 2 = 0 имеет один корень?

3. При каких значениях а уравнение (а 2 – 6а + 8) х 2 + (а 2 – 4) х + (10 – 3а – а 2) = 0 имеет более двух корней?

4. При каких значениях а уравнение 2х 2 + х – а = 0 имеет хотя бы один общий корень с уравнением 2х 2 – 7х + 6 = 0?

5. При каких значениях а уравнения х 2 +ах + 1 = 0 и х 2 + х + а = 0 имеют хотя бы один общий корень?

1. При а = - 1/7, а = 0, а = 1

2. При а = 0

3. При а = 2

4. При а = 10

5. При а = - 2

Показательные уравнения с параметром

Пример 1 .Найти все значения а , при которых уравнение

9 х – (а + 2)*3 х-1/х +2а *3 -2/х = 0 (1) имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части уравнения (1) на 3 2/х, получим равносильное уравнение

3 2(х+1/х) – (а + 2)*3 х+1/х + 2а = 0 (2)

Пусть 3 х+1/х = у , тогда уравнение (2) примет вид у 2 – (а + 2)у + 2а = 0, или

(у – 2)(у – а ) = 0, откуда у 1 =2, у 2 = а .

Если у = 2, т.е. 3 х+1/х = 2 то х + 1/х = log 3 2 , или х 2 – х log 3 2 + 1 = 0.

Это уравнение не имеет действительных корней, так как его Д = log 2 3 2 – 4 < 0.

Если у = а , т.е. 3 х+1/х = а то х + 1/х = log 3 а , или х 2 – х log 3 а + 1 = 0. (3)

Уравнение (3) имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда

Д = log 2 3 2 – 4 > 0, или |log 3 а| > 2.

Если log 3 а > 2, то а > 9, а если log 3 а < -2, то 0 < а < 1/9.

Ответ: 0 < а < 1/9, а > 9.

Пример 2 . При каких значениях а уравнение 2 2х – (а – 3) 2 х – 3а = 0 имеет решения?

Для того чтобы заданное уравнение имело решения, необходимо и достаточно, чтобы уравнение t 2 – (a – 3) t – 3a = 0 имело хотя бы один положительный корень. Найдем корни по теореме Виета: х 1 = -3, х 2 = а = >

а – положительное число.

Ответ: при а > 0

Дидактический материал

1. Найти все значения а, при которых уравнение

25 х – (2а + 5)*5 х-1/х + 10а * 5 -2/х = 0 имеет ровно 2 решения.

2. При каких значениях а уравнение

2 (а-1)х?+2(а+3)х+а = 1/4 имеет единственный корень?

3. При каких значениях параметра а уравнение

4 х - (5а -3)2 х +4а 2 – 3а = 0 имеет единственное решение?

Логарифмические уравнения с параметром

Пример 1. Найти все значения а , при которых уравнение

log 4x (1 + ах ) = 1/2 (1)

имеет единственное решение.

Решение. Уравнение (1) равносильно уравнению

1 + ах = 2х при х > 0, х 1/4 (3)

х = у

ау 2 –у + 1 = 0 (4)

Не выполняется (2) условие из (3).

Пусть а 0, то ау 2 – 2у + 1 = 0 имеет действительные корни тогда и только тогда, когда Д = 4 – 4а 0, т.е. при а 1.Чтобы решить неравенство (3), построим графики функций Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. – М.: Просвещение, 1990

Крамор В.С . Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.

Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И . Сборник задач по алгебре. – М.: Просвещение, 1994.

Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я. Алгебра и начала анализа. Решение экзаменационных задач. – М.: Дрофа, 1998.

Макарычев Ю.Н. и др. Дидактические материалы по алгебре 7, 8, 9 кл. – М.: Просвещение, 2001.

Саакян С.И., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа для 10–11-х классов. – М.: Просвещение, 1990.

Журналы “Математика в школе”.

Л.С. Лаппо и др. ЕГЭ. Учебное пособие. – М.: Экзамен, 2001–2008.

Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В математике существуют задачи, в которых необходимо произвести поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде или произвести поиск количества корней, которое имеет уравнение в зависимости от значения параметра. Все эти задачи с параметрами.

Рассмотрим следующие уравнения в качестве наглядного примера:

\[у = kx,\] где \ - переменные, \- параметр;

\[у = kx + b,\] где \ - переменные, \ - параметр;

\[аx^2 + bх + с = 0,\] где \ - переменная, \[а, b, с\] - параметр.

Решить уравнение с параметром значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений.

Однако, придерживаясь определенного алгоритма, можно легко решить такие уравнения:

1. Определить "контрольные" значения параметра.

2. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, определенных в первом пункте.

3. Решить исходное уравнение относительно [\x\] при значениях параметра, отличающихся от выбранных в первом пункте.

Допустим, дано такое уравнение:

\[\mid 6 - x \mid = a.\]

Проанализировав исходные данные, видно, что a \[\ge 0.\]

По правилу модуля \ выразим \

Ответ: \ где \

Где можно решить уравнение с параметром онлайн?

Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://сайт. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.