Мат. Ожидание Мода Медиана

Важнейшая характеристика математическое ожидание , которая показывает среднее значение случайной величины.

Математическое ожидание величины Х обозначается М[X], или m x .

Для дискретных случайных величин математическое ожидание :

Сумма значений соответствующего значения на вероятность случайных величин.

Модой (Mod) случайной величины Х называют ее наиболее вероятное значение.

Для дискретной случайной величины. Для непрерывной случайной величины.

Одно-модальное распределение

Много модальное распределение

В общем случае Mod и математическое ожидание не

совпадают.

Медианой (Med) случайной величины Х называют такое значение, для которой вероятность того что P(XMed). У любого распределения Med может быть только один.

Med разделяет площадь под кривой на 2 равные части. В случае одно-модального и симметричного распределения

Моменты.

Чаще всего на практике применяются моменты двух видов начальное и центральное.

Начальный момент. -го порядка дискретной случайной величины Х называется сумма вида:

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом порядка называется интеграл , очевидно, что математическое ожидание случайной величины есть первый начальный момент.

Пользуясь знаком (оператором) М, начальный момент -го порядка можно представить как мат. ожидание -ой степени некоторой случайной величины.

Центрированной случайной величиной соответственной случайной величины Х называют отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания:

Математическое ожидание центрированной случайной величины равно 0.

Для дискретных случайных величин имеем:

Моменты центрированной случайной величины носят название Центральных моментов

Центральный момент порядка случайной величины Х называют математическим ожиданием -ой степени соответствующей центрированной случайной величины.

Для дискретных случайных величин:

Для непрерывных случайных величин:

Связь между центральными и начальными моментами различных порядков

Из всех моментов в качестве характеристики случайной величины чаще всего применяют первый момент (мат. ожидание) и второй центральный момент .

Второй центральный момент называют дисперсией случайной величины. Он имеет обозначение:

Согласно определению

Для дискретной случайной величины:

Для непрерывной случайной величины:

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеянности (разбросанности) случайных величин Х около ее математического ожидания.

Дисперсия означает рассеивание. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины.

Для наглядной характеристики рассеивания удобнее использовать величину, m y той, что и размерность случайной величины. С этой целью из дисперсии извлекают корень и получают величину, называемую - среднеквадратичным отклонением (СКО) случайной величины Х, при этом вводят обозначение:

Среднеквадратичное отклонение иногда называют "стандартом" случайной величины Х.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности

Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины, можно вычислить по формуле

M(X) =
.

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний)среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины .

Свойства математического ожидания.

Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) =M(X) *M(Y).

Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M(X+Y) =M(X) +M(Y).

12.1. Дисперсия случайной величины и ее свойства.

На практике часто требуется выяснить рассеяние случайной величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т. е. M, для любой случайной величины равно нулю.

Поэтому чаще всего идут по другому пути – используют для вычисления дисперсию.

Дисперсией (рассеянием) случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M 2 .

Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания.

D(X) = M(X 2) – 2 .

Свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины C равна нулю:

Свойство 2. Постоянный множитель можно возводить за знак дисперсии возводя его в квадрат:

D(CX) =C 2 D(X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X+Y) =D(X) +D(Y).

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X–Y) =D(X) +D(Y).

13.1. Нормированные случайные величины.

имеет дисперсию равную 1 и математическое ожидание равное 0.

Нормированная случайная величина V – это отношение данной случайной величины X к ее среднему квадратичному отклонению σ

Среднее квадратичное отклонение – это квадратный корень из дисперсии

Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величиныVвыражаются через характеристики X так:

где v – коэффициент вариации исходной случайной величины X.

Для функции распределения F V (x) и плотности распределения f V (x) имеем:

F V (x) =F(σx), f V (x) =σf(σx),

где F(x) – функция распределения исходной случайной величиныХ , аf(x) – ее плотность вероятности.

Центрированной случайной величиной, соответствующей СВ X называется разность между случайной величиной X и ее математическим ожиданием

Случайная величина называется нормированной , если ее дисперсия рана 1. Центрированная и нормированная случайная величина называетсястандартной .

Стандартная случайная величина Z , соответствующая случайной величинеX находится по формуле:

(1.24)

1.2.5. Другие числовые характеристики

Мода дискретной СВ X определяется как такое возможное значениеx m , для которого

Модой непрерывной СВ X называется действительное число M 0 (X ), определяемое как точка максимума плотности распределения вероятностей f (x ).

Таким образом, мода СВ X есть ее наиболее вероятное значение, если такое значение единственно. Мода может не существовать, иметь единственное значение (унимодальное распределение) или иметь несколько значений (мультимодальное распределение).

Медианой непрерывной СВ X называется действительное числоM D (X ), удовлетворяющее условию

Так как данное уравнение может иметь множество корней, то медиана определяется, вообще говоря, неоднозначно.

Начальным моментом m -го порядка СВ X (если он существует) называется действительное число m , определяемое по формуле

(1.27)

Центральным моментом m-го порядка СВ X (если он существует) называется число m , определяемое по формуле

(1.28)

Математическое ожидание СВ X есть ее первый начальный момент, а дисперсия – второй центральный.

Среди моментов высших порядков особое значение имеют центральные моменты 3-го и 4-го порядков.

Коэффициентом асимметрии ("скошенности") А(X ) называется величина

Коэффициентом эксцесса ("островершинности") E(X ) СВ X называется величина

1.3. Некоторые законы распределения дискретных случайных величин

1.3.1. Геометрическое распределение

Дискретная СВ X имеет геометрическое распределение, если ее возможным значениям 0, 1, 2, …,m , … соответствуют вероятности, вычисляемые по формуле

где 0 < p < 1,q = 1 –p .

На практике геометрическое распределение встречается, когда производится ряд независимых попыток достигнуть какого-то результата А и вероятность появления событияА в каждой попыткеP (A ) =P . СВX – число бесполезных попыток (до первого опыта, в котором появится событиеА ), имеет геометрическое распределение с рядом распределения:

x i
p i			q 2 p		q m p

и числовыми характеристиками:

(1.30)

1.3.2. Гипергеометрическое распределение

Дискретная СВ X с возможными значениями 0, 1, …,m , …,M имеет гипергеометрическое распределение с параметрамиN ,M ,n , если

(1.31)

где M ≤N ,m ≤n ,n ≤N ,m ,n ,N ,M – натуральные числа.

Гипергеометрическое распределение возникает в случаях, подобных следующему: имеется N объектов, из которыхM обладают определенным признаком. Из имеющихсяN объектов наудачу выбираютсяn объектов.

СВ X – число объектов с указанным признаком среди выбираемых, распределена по гипергеометрическому закону.

Гипергеометрическое распределение используется, в частности, при решении задач, связанных с контролем качества продукции.

Математическое ожидание случайной величины, имеющей гипергеометрическое распределение, равно:

(1.32)

Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением или центрированной случайной величиной :

Ряд распределения центрированной случайной величины имеет вид:

X  М(Х)	х 1  М(Х)	х 2  М(Х)		х n  М(Х)
	р 1	p 2		р n

Свойства центрированной случайной величины:

1. Математическое ожидание отклонения равно 0:

2. Дисперсия отклонения случайной величины Х от ее математического ожидания равна дисперсии самой случайной величины Х:

Другими словами, дисперсия случайной величины и дисперсия ее отклонения равны между собой.

4.2. Если отклонение Х  М(Х) разделить на среднее квадратическое отклонение  (Х) , то получим безразмерную центрированную случайную величину, которая называется стандартной (нормированной) случайной величиной :

Свойства стандартной случайной величины:

Математическое ожидание стандартной случайной величины равно нулю: M (Z ) =0.

Дисперсия стандартной случайной величины равна 1: D (Z ) =1.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

В лотерее на 100 билетов разыгрываются две вещи, стоимости которых 210 и 60 у.е. Составьте закон распределения суммы выигрыша для лица, имеющего: а) 1 билет, б) 2 билета. Найдите числовые характеристики.

Два стрелка стреляют по мишени один раз. Случайная величина Х – число очков, выбиваемых при одном выстреле первым стрелком, – имеет закон распределения:

Z – суммы очков, выбиваемых обоими стрелками. Определить числовые характеристики.

Два стрелка стреляют по своей мишени, делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,8. Случайная величина Х 1 – число попаданий первого стрелка, Х 2  число попаданий второго стрелка. Найти закон распределения: а) общего числа попаданий; б) случайной величины Z =3Х 1  2Х 2 . Определить числовые характеристики общего числа попаданий. Проверить выполнение свойств математического ожидания и дисперсии: M (3 X  2 Y )=3 M (X )  2 M (Y ), D (3 X  2 Y )=9 D (X )+4 D (Y ).

Случайная величина Х – выручка фирмы – имеет закон распределения:

Найти закон распределения для случайной величины Z – прибыли фирмы. Определить ее числовые характеристики.

Случайные величины Х и У независимы и имеют один и тот же закон распределения:

Значение

Одинаковые ли законы распределения имеют случайные величины 2 Х и Х + У ?

Доказать, что математическое ожидание стандартной случайной величины равно нулю, а дисперсия равна 1.

ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗБРОСА

От характеристик положения - математического ожидания, медианы, моды - перейдем к характеристикам разброса случайной величины X. дисперсии D{X) = а 2 , среднему квадратическому отклонению а и коэффициенту вариации v. Определение и свойства дисперсии для дискретных случайных величин рассмотрены в предыдущей главе. Для непрерывных случайных величин

Среднее квадратическое отклонение - это неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

Коэффициент вариации - это отношение среднего квадратического отклонения к математическому ожиданию:

Коэффициент вариации - применяется при М(Х) > О - измеряет разброс в относительных единицах, в то время как среднее квадратическое отклонение - в абсолютных.

Пример 6. Для равномерно распределенной случайной величины X найдем дисперсию, среднеквадратическое отклонение и коэффициент вариации. Дисперсия равна:

Замена переменной дает возможность записать:

где с = ф - аУ2.

Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно а коэффициент вариации таков:

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

По каждой случайной величине X определяют еще три величины - центрированную Y, нормированную V и приведенную U. Центрированная случайная величина Y - это разность между данной случайной величиной X и ее математическим ожиданием М(Х), т.е. Y = X - М(Х). Математическое ожидание центрированной случайной величины Y равно 0, а дисперсия - дисперсии данной случайной величины:

Функция распределения Fy(x) центрированной случайной величины Y связана с функцией распределения F(x ) исходной случайной величины X соотношением:

Для плотностей этих случайных величин справедливо равенство

Нормированная случайная величина V - это отношение данной случайной величины X к ее среднему квадратическому отклонению а, т.е. V = XIо. Математическое ожидание и дисперсия нормированной случайной величины V выражаются через характеристики X так:

где v - коэффициент вариации исходной случайной величины X. Для функции распределения Fv(x) и плотности fv(x) нормированной случайной величины V имеем:

где F{x) - функция распределения исходной случайной величины X; fix) - ее плотность вероятности.

Приведенная случайная величина U - это центрированная и нормированная случайная величина:

Для приведенной случайной величины

Нормированные, центрированные и приведенные случайные величины постоянно используются как в теоретических исследованиях, так и в алгоритмах, программных продуктах, нормативно-технической и инструктивно-методической документации. В частности, потому, что равенства M{U) = 0, D(lf) = 1 позволяют упростить обоснования методов, формулировки теорем и расчетные формулы.

Используются преобразования случайных величин и более общего плана. Так, если У = аХ + Ь, где а и b - некоторые числа, то

Пример 7. Если а = 1/G, b = -M(X)/G, то У - приведенная случайная величина, и формулы (8) переходят в формулы (7).

С каждой случайной величиной X можно связать множество случайных величин У, заданных формулой У = аХ + b при различных а > 0 и Ь. Это множество называют масштабно- сдвиговым семейством, порожденным случайной величиной X. Функции распределения Fy(x ) составляют масштабно-сдвиговое семейство распределений, порожденное функцией распределения F(x). Вместо У = аХ + b часто используют запись

Число с называют параметром сдвига, а число d - параметром масштаба. Формула (9) показывает, что X - результат измерения некоторой величины - переходит в К - результат измерения той же величины, если начало измерения перенести в точку с, а затем использовать новую единицу измерения, в d раз большую старой.

Для масштабно-сдвигового семейства (9) распределение X называют стандартным. В вероятностно-статистических методах принятия решений и других прикладных исследованиях используют стандартное нормальное распределение, стандартное распределение Вейбулла-Гнеденко, стандартное гамма-

распределение и др. (см. ниже).

Применяют и другие преобразования случайных величин. Например, для положительной случайной величины X рассматривают Y = IgX, где IgX - десятичный логарифм числа X. Цепочка равенств

связывает функции распределения X и Y.